微分方程-齐次线性方程组的通解结构

齐次线性方程组的通解结构

本文讨论齐次线性微分方程组

$\dfrac{\text{d}\boldsymbol{x}}{\text{d}t}=\boldsymbol{A}(t)\boldsymbol{x}\quad(3.9)$

的解的结构. 假设 $\boldsymbol{A}(t)$ 是区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上的 $n\times n$ 阶连续矩阵函数. 一个最基本的结果是：

定理 3.2（叠加原理）

如果 $\boldsymbol{x}_1(t)$ 和 $\boldsymbol{x}_2(t)$ 是齐次线性微分方程组（3.9）的两个解，则

$\boldsymbol{x}(t)=C_1\boldsymbol{x}_1(t)+C_2\boldsymbol{x}_2(t)$

也是（3.9）的解，其中 $C_1,\,C_2$ 是任意常数. 并且齐次线性微分方程组（3.9）解的全体 $S$ 为了一个 $n$ 维线性空间.

为了证明这个定理，我们需要引入若干个向量函数线性无关的概念. 给定定义在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上的 $n$ 个向量函数 $\boldsymbol{x}_1(t),\boldsymbol{x}_2(t),\cdots,\boldsymbol{x}_n(t)$ ，如果存在 $n$ 个不全为零的常数 $C_1,C_2,\cdots,C_n$ ，使得

$\displaystyle\sum_{k=1}^nC_k\boldsymbol{x}_k(t)\equiv0,\quad\forall\; t\in[\alpha,\,\beta]\quad(3.10)$

则称 $\boldsymbol{x}_1(t),\boldsymbol{x}_2(t),\cdots,\boldsymbol{x}_n(t)$ 在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上线性相关；否则就称这些向量函数在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上.

定理 3.2 的证明

定理的前一半根据求导公式容易得到. 我们只需证明（3.9）的解的全体 $S$ 为一个 $n$ 维线性空间.

我们先证明方程组（3.9）在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上一定存在 $n$ 个线性无关的解 $\boldsymbol{x}_1(t),\boldsymbol{x}_2(t),\cdots,\boldsymbol{x}_n(t)$ . 在 $n$ 维向量空间 $\mathbb{R}^n$ 或 $\mathbb{C}^n$ 上任意选择 $n$ 个线性无关的向量 $\boldsymbol{x}_1^0,\boldsymbol{x}_2^0,\cdots,\boldsymbol{x}_n^0$ . 根据定理 3.1 ，对任意的 $k(1\leqslant k \leqslant n)$ 及区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上的任意实数 $t_0$ ，方程组（3.9）在 $t$ 的区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上存在唯一满足初值条件 $\boldsymbol{x}_k(t_0)=\boldsymbol{x}_k^0$ 的解 $\boldsymbol{x}_k(t)$ . 若有常数 $C_1,C_2,\cdots,C_n$ ，满足

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}C_k\boldsymbol{x}_k(t)\equiv0,\quad\alpha\leqslant t\leqslant\beta$

则必有

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}C_k\boldsymbol{x}_k^0=\sum_{k=1}^nC_k\boldsymbol{x}_k(t_0)=0$ .

由于向量 $\boldsymbol{x}_1^0,\boldsymbol{x}_2^0,\cdots,\boldsymbol{x}_n^0$ 是线性无关的，因此 $C_1,C_2,\cdots,C_n$ 必全为零，这表明方程组的（3.9）的解 $\boldsymbol{x}_1(t),\boldsymbol{x}_2(t),\cdots,\boldsymbol{x}_n(t)$ 是线性无关的.

其次我们证明，方程组（3.9）的任一解 $\boldsymbol{x}(t)$ 都可表示为上述 $n$ 个线性无关解的线性组合

$\displaystyle\boldsymbol{x}(t)=\sum_{k=1}^{n}C_k\boldsymbol{x}_k(t),\quad\alpha\leqslant t\leqslant\beta\;(3.11)$

其中 $C_1,c_2,\cdots,C_n$ 为常数. 一方面，由于向量组 $\boldsymbol{x}_1^0,\boldsymbol{x}_2^0,\cdots,\boldsymbol{x}_n^0$ 线性无关，他们构成了 $n$ 维向量空间 $\mathbb{R}^n$ 或 $\mathbb{C}^n$ 的一组基，故存在常数 $C_1,C_2,\cdots,C_n$ ，使得

$\displaystyle\boldsymbol{x}(t_0)=\sum_{k=1}^nC_k\boldsymbol{x}_k^0=\sum_{k=1}^nC_k\boldsymbol{x}_k(t_0)\quad(3.12)$

另外由本定理的第一部分知，

$\displaystyle\sum_{k=1}^nC_k\boldsymbol{x}_k(t)$

也是方程组（3.9）的满足处置条件 $\boldsymbol{x}(t_0)$ 的解. 因此由解的存在唯一性定理（即定理3.1）知（3.11）成立.

上面的证明告诉我们，在固定 $t_0$ 的情形下， $n$ 维向量空间 $\mathbb{R}^n$ 或 $\mathbb{C}^n$ 上任意一个常向量 $\boldsymbol{x}^0$ 都唯一地对应于齐次方程组（3.9）的一个解 $\boldsymbol{x}(t)$ . 映射 $\sigma:\boldsymbol{x}^0\mapsto\boldsymbol{x}(t)$ 事实上给出了由函数组成的空间 $S$ 与线性空间 $\mathbb{R}^n$ 或 $\mathbb{C}^n$ 之间的同构关系.

齐次方程组（3.9）的 $n$ 个线性无关的解合起来称为该方程组的一个基本解组. 显然基本解组不是唯一的，如果齐次方程组（3.9）有基本解组 $\{\boldsymbol{x}_k(t):k=1,2,\cdots,n\}$ ，则齐次方程组（3.9）的通解必可表示维（3.11）的形式. 因此，且方程组（3.9）的通解的问题可归结为求他的 $n$ 个线性无关的特解的问题.

假设已知

$\boldsymbol{x}_k(t)=\begin{pmatrix} \boldsymbol{x}_{1k}(t)\\\\ \boldsymbol{x}_{2k}(t)\\ \vdots\\ \boldsymbol{x}_{nk}(t)\\ \end{pmatrix}, \quad k=1,2,\cdots,n$

是方程组（3.9）的 $n$ 个解，我们怎样判定它们是否线性无关呢？

定义 3.1

由方程组（3.9）的 $n$ 个解 $\boldsymbol{x}_1(t),\boldsymbol{x}_2(t),\cdots,\boldsymbol{x}_n(t)$ 构成的矩阵

$\boldsymbol{X}(t)\begin{pmatrix} x_{11}(t)&x_{12}(t)&\cdots&x_{1n}(t)\\\\ x_{21}(t)&x_{22}(t)&\cdots&x_{2n}(t)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_{n1}(t)&x_{n2}(t)&\cdots&x_{nn}(t)\\ \end{pmatrix}$

称为方程组（3.9）的一个解矩阵. 其行列式 $\det\boldsymbol{X}(t)$ 称为这个解的 Wronski 行列式.

由线性代数的知识易知：若定义在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上的 $n$ 个向量函数 $\boldsymbol{x}_1(t),\boldsymbol{x}_2(t),\cdots,\boldsymbol{x}_n(t)$ 线性相关，则在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上其 Wronski 行列式 $\det\boldsymbol{X}(t)\equiv0$ . 下免的定理给出了一个判定方程组（39）的某个解组是否线性无关的简洁的方法：

定理 3.3

方程组（3.9）的解组 $\{\boldsymbol{x}_k(t):k=1,2,\cdots,n\}$ 线性无关的充要条件是它们的 Wronski 行列式 $\det\boldsymbol{X}(t)$ 在某点 $t=t_0\in[\alpha,\,\beta]$ 处取值不为零. 并且 $\det \boldsymbol{X}(t)$ 满足 Liouville 公式

$\displaystyle\det\boldsymbol{X}(t)=\det\boldsymbol{X}(t_0)\exp(\int_{t_0}^t\text{tr}\boldsymbol{A}(\tau)\text{d}\tau)\quad(3.13)$

其中 $t,t_0\in[\alpha,\,\beta],\text{tr}\boldsymbol{A}(t)$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}(t)$ 的迹，即

$\displaystyle\text{tr}\boldsymbol{A}(t)=\sum_{k=1}^na_{kk}(t).$

证明

根据行列式的定义以级函数和、积的求导公式，容易证明

$\begin{aligned} \displaystyle\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\det\boldsymbol{X}(t) =&\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\begin{vmatrix} x_{11}(t)&x_{12}(t)&\cdots&x_{1n}(t)\\\\ x_{21}(t)&x_{22}(t)&\cdots&x_{2n}(t)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_{n1}(t)&x_{n2}(t)&\cdots&x_{nn}(t)\\ \end{vmatrix}\\ =&\begin{vmatrix} \dfrac{\text{d}}{\text{d}t}x_{11}(t)&\cdots&\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}x_{1n}(t)\\\\ x_{21}(t)&\cdots&x_{2n}(t)\\ \vdots&&\vdots\\ x_{n1}(t)&\cdots&x_{nn}(t) \end{vmatrix} \\&+\begin{vmatrix} x_{11}(t)&\cdots&x_{1n}(t)\\\\ \dfrac{\text{d}}{\text{d}t}x_{21}(t)&\cdots&\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}x_{2n}(t)\\ \vdots&&\vdots\\ x_{n1}(t)&\cdots&x_{nn}(t) \end{vmatrix}\\ &+\cdots+\begin{vmatrix} x_{11}(t)&\cdots&x_{1n}(t)\\\\ x_{12}(t)&\cdots&x_{2n}(t)\\ \vdots&&\vdots\\ \dfrac{\text{d}}{\text{d}t}x_{n1}(t)&\cdots&\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}x_{nn}(t) \end{vmatrix}\\ (3.14) \end{aligned}$

由于 $\boldsymbol{x}_k(t),k=1,2,\cdots,n$ 是方程组（3.9）的解，故

$\begin{aligned} &\begin{vmatrix} \dfrac{\text{d}}{\text{d}t}x_{11}(t)&\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}x_{12}(t)&\cdots&\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}x_{1n}(t)\\\\ x_{21}(t)&x_{22}(t)&\cdots&x_{2n}(t)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_{n1}(t)&x_{n2}(t)&\cdots&x_{nn}(t) \end{vmatrix}\\\\ =&\begin{vmatrix} \displaystyle \sum_{k=1}^na_{1k}x_{k1}(t)&\displaystyle \sum_{k=1}^na_{1k}x_{k2}(t)&\cdots& \displaystyle \sum_{k=1}^na_{1k}x_{kn}(t)\\\\ x_{21}(t)&x_{22}(t)&\cdots&x_{2n}(t)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_{n1}(t)&x_{n2}(t)&\cdots&x_{nn}(t) \end{vmatrix}\\ =&a_{11}(t) \begin{vmatrix} x_{11}(t)&x_{12}(t)&\cdots&x_{1n}(t)\\\\ x_{21}(t)&x_{22}(t)&\cdots&x_{2n}(t)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_{n1}(t)&x_{n2}(t)&\cdots&x_{nn}(t)\\ \end{vmatrix}\\ =&a_{11}(t)\det\boldsymbol{X}(t) \end{aligned}$

同理可得（3.14）右端的第 $k$ 个行列式的值等于 $a_{kk}(t)\det\boldsymbol{X}(t)$ ，其中 $k=1,2,\cdots,n$ . 从而，

$\displaystyle\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\det\boldsymbol{X}(t)=\sum_{k=1}^na_{kk}(t)\det\boldsymbol{X}(t)=\text{tr}\boldsymbol{A}(t)\det\boldsymbol{X}(t)$

这是关于 $\det\boldsymbol{X}(t)$ 的一阶线性方程，其解为

$\displaystyle\det\boldsymbol{X}(t)=\det\boldsymbol{X}(t_0)\exp(\int_{t_0}^t\text{tr}\boldsymbol{A}(\tau)\text{d}\tau),$

因此 Liouville 公式成立. 按照这个公式，我们容易知道 $\det\boldsymbol{X}(t)$ 恒为 0（无零点）当且仅当 $\det\boldsymbol{X}(t)$ 在某点 $t_0$ 等于 0（不等于 0 ）. 定理证毕.

定理 3.3 的第一部分还可以利用解的唯一性（定理 3.1 ）来给出证明.
由定理 3.3，只需在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上的任一点 $t_0$ 处计算出给定解组的 Wronski 行列式 $\det \boldsymbol{X}(t_0)$ ，就可根据 $\det\boldsymbol{X}(t_0)$ 是否为零来判断其是否线性无关.

值得注意的是，上述函数矩阵的行列式或恒为零或恒不为零的结果只适用于由齐次线性微分方程给出的解矩阵. 一般的函数矩阵没有这样的性质，更不能用它来判断向量函数组是否线性无关. 例如，下列两个向量函数：

$\begin{pmatrix} t\\0, \end{pmatrix}\quad \begin{pmatrix} t^2\\0 \end{pmatrix}$

的 Wronski 行列式恒等于零，但它们却是线性无关的.

定义 3.2

当解组 $\{\boldsymbol{x}_k(t):k=1,2,\cdots,n\}$ 是一个基本解组时，我们称解矩阵

$\boldsymbol{X}(t)=\begin{pmatrix} x_{11}(t)&x_{12}(t)&\cdots&x_{1n}(t)\\\\ x_{21}(t)&x_{22}(t)&\cdots&x_{2n}(t)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_{n1}(t)&x_{n2}(t)&\cdots&x_{nn}(t) \end{pmatrix}$

为方程组（3.9）的一个基(本)解矩阵. 特别地，如果在某点 $t_0$ 处 $\boldsymbol{X}(t_0)=\boldsymbol{I}$ （即单位矩阵），则称 $\boldsymbol{X}(t)$ 为标准解矩阵.

根据前面的定理，设 $\boldsymbol{X}(t)$ 为方程组（3.9）的一个基解矩阵，则方程组（3.9）的任一解 $\boldsymbol{x}(t)$ 都可以表示为

$\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{X}(t)\boldsymbol{c}$

其中 $\boldsymbol{c}$ 是某常量. 反之，对于任意常向量 $\boldsymbol{c}$ ，向量函数 $\boldsymbol{X}(t)\boldsymbol{c}$ 都是方程组（3.9）的解. 如果考虑初值函数 $\boldsymbol{x}(t_0)=\boldsymbol{x}^0$ 的解为

$\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{X}(t,t_0)\boldsymbol{x}^0$

其中 $\boldsymbol{X}(t,t_0):=\boldsymbol{X}(t)\boldsymbol{X}^{-1}(t_0)$ 是一个标准解矩阵.

最后编辑于：2019.11.14 09:47:12

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 202,980评论 5赞 476
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 85,178评论 2赞 380
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 149,868评论 0赞 336
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 54,498评论 1赞 273
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 63,492评论 5赞 364
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 48,521评论 1赞 281
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 37,910评论 3赞 395
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 36,569评论 0赞 256
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 40,793评论 1赞 296
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 35,559评论 2赞 319
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 37,639评论 1赞 329
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 33,342评论 4赞 318
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 38,931评论 3赞 307
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 29,904评论 0赞 19
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 31,144评论 1赞 259
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 42,833评论 2赞 349
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 42,350评论 2赞 342