前言
接下来我们将学习图这种数据结构的相关知识,从基础概念入手,到实际应用,一步步探索图的世界。
基础概念
图[Graph]是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成。通常表示为:G[V,E],其中G表示一个图,V是图G中的顶点集合,E是图G中边的集合。如下图所示:
从边有无方向的特点来区分,图分为有向图和无向图,如下图:
在这基础之上,从顶点间关系来区分,两两顶点间是否连接的特点区分,图又可分为无向完全图和有向完全图:
从所有顶点间是否可用一条连通的线连接起来的特点区分,图又可分为连通图和非连通图:
认识了这么多中图,我们不难看出图是描述于一组对象的结构,其中某些对象对在某种意义上是“相关的”。即点与点之间的关系是通过边的描述的。
图的存储
下面我们将从邻接矩阵
和邻接表
这两种不同的存储方式来探索图的存储。图的存储在往年的大厂面试中出现过,所以还是需要掌握的。
上面是来自快手的一道面试题,我们将分别使用图的数据结构来实现题中数据的存储。我们先来了解下邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵
如下图有V0、V1、V2、V3四个顶点,那么我们就可以利用一个4X4矩阵来表示顶点间的关系:
如上图所示,右边4X4矩阵中,对角线表示顶点自己到自己的关系,默认置0,两个顶点间是有关系即连接状态,所以对应矩阵的相应位置为1,以图中矩阵左边顶点为起点,上方顶点为终点,如第一行,V0V1、V0V2、V0V3(对称点V1V0、V2V0、V3V0)都是连接的,所以都置为1。V2V3(对称点V3V2)没有连接,所以置为0。
上方为无向图对应的邻接矩阵,有向图的邻接矩阵不同点就是非对称矩阵:
所以有方向的顶点之间的边置为1,其余都是0。
顶点的度
:如上两个矩阵中,每一行中的1的个数就是当前顶点的度。
题目分析:题中的边是方向及带权值的,所以矩阵中的数据就需要将相应的权值替换矩阵中的1,对角线0不变,其余位置为最大值∞。那么题中最终的邻接矩阵如下图:
代码实现
#define MAXVEX 100 /* 最大顶点数,应由用户定义 */
#define INFINITYC 0
typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码,如OK等 */
typedef char VertexType; /* 顶点类型应由用户定义 */
typedef int EdgeType; /* 边上的权值类型应由用户定义 */
typedef struct
{
VertexType vexs[MAXVEX]; /* 顶点表 */
EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];/* 邻接矩阵,可看作边表 */
int numNodes, numEdges; /* 图中当前的顶点数和边数 */
}MGraph;
void CreateMGraph(MGraph *G){
int i,j,k,w;
printf("输入顶点数和边数:\n");
//1. 输入顶点数/边数
scanf("%d,%d",&G->numNodes,&G->numEdges);
printf("顶点数:%d,边数:%d\n",G->numNodes,G->numEdges);
//2.输入顶点信息/顶点表
for(i = 0; i<= G->numNodes;i++)
scanf("%c",&G->vexs[i]);
//3.初始化邻接矩阵
for(i = 0; i < G->numNodes;i++)
for(j = 0; j < G->numNodes;j++)
G->arc[i][j] = INFINITYC;
//4.输入边表信息
for(k = 0; k < G->numEdges;k++){
printf("输入边(vi,vj)上的下标i,下标j,权w\n");
scanf("%d,%d,%d",&i,&j,&w);
G->arc[i][j] = w;
//如果无向图,矩阵对称;
G->arc[j][i] = G->arc[i][j];
}
/*5.打印邻接矩阵*/
for (int i = 0; i < G->numNodes; i++) {
printf("\n");
for (int j = 0; j < G->numNodes; j++) {
printf("%d ",G->arc[i][j]);
}
}
printf("\n");
}
int main(void)
{
printf("邻接矩阵实现图的存储\n");
/*图的存储-邻接矩阵*/
MGraph G;
CreateMGraph(&G);
return 0;
}
邻接表
同样的,有V0、V1、V2、V3四个顶点,之间的边是无向的,那么分别以每个顶点为起点,与之有关联的顶点利用链表指向来表示之间的关系。
如果是有向的,也是只把有指向的边用链表指向的方式表示出来:
那么像上面面试题中有向边是带权值的,所以链表结点的结构就需要添加上权值域,如下图:
代码实现
#define M 100
#define true 1
#define false 0
typedef char Element;
typedef int BOOL;
//邻接表的节点
typedef struct Node{
int adj_vex_index; //弧头的下标,也就是被指向的下标
Element data; //权重值
struct Node * next; //边指针
}EdgeNode;
//顶点节点表
typedef struct vNode{
Element data; //顶点的权值
EdgeNode * firstedge; //顶点下一个是谁?
}VertexNode, Adjlist[M];
//总图的一些信息
typedef struct Graph{
Adjlist adjlist; //顶点表
int arc_num; //边的个数
int node_num; //节点个数
BOOL is_directed; //是不是有向图
}Graph, *GraphLink;
void creatGraph(GraphLink *g){
int i,j,k;
EdgeNode *p;
//1. 顶点,边,是否有向
printf("输入顶点数目,边数和有向?:\n");
scanf("%d %d %d", &(*g)->node_num, &(*g)->arc_num, &(*g)->is_directed);
//4 5 0
//2.顶点表
printf("输入顶点信息:\n");
for (i = 0; i < (*g)->node_num; i++) {
getchar();
scanf("%c", &(*g)->adjlist[i].data);
(*g)->adjlist[i].firstedge = NULL;
}
//0 1 2 3
//3.
printf("输入边信息:\n");
//0 1 0 2 0 3 2 1 2 3
//arc_num 边的个数 5
for (k = 0; k < (*g)->arc_num; k++){
getchar();
scanf("%d %d", &i, &j);
//①新建一个节点
p = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
//②弧头的下标
p->adj_vex_index = j;
//③头插法插进去,插的时候要找到弧尾,那就是顶点数组的下标i
p->next = (*g)->adjlist[i].firstedge;
//④将顶点数组[i].firstedge 设置为p
(*g)->adjlist[i].firstedge = p;
//j->i
if(!(*g)->is_directed)
{
// j -----> i
//①新建一个节点
p = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
//②弧头的下标i
p->adj_vex_index = i;
//③头插法插进去,插的时候要找到弧尾,那就是顶点数组的下标i
p->next = (*g)->adjlist[j].firstedge;
//④将顶点数组[i].firstedge 设置为p
(*g)->adjlist[j].firstedge = p;
}
}
}
void putGraph(GraphLink g){
int i;
printf("邻接表中存储信息:\n");
//遍历一遍顶点坐标,每个再进去走一次
for (i = 0; i < g->node_num; i++) {
EdgeNode * p = g->adjlist[i].firstedge;
while (p) {
printf("%c->%c ", g->adjlist[i].data, g->adjlist[p->adj_vex_index].data);
p = p->next;
}
printf("\n");
}
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
// insert code here...
printf("邻接表实现图的存储\n");
/*
邻接表实现图的存储
输入顶点数目,边数和有向?:
4 5 0
输入顶点信息:
0 1 2 3
输入边信息:
0 1 0 2 0 3 2 1 2 3
邻接表中存储信息:
0->3 0->2 0->1
1->2 1->0
2->3 2->1 2->0
3->2 3->0
*/
/*
邻接表实现图的存储
输入顶点数目,边数和有向?:
4 5 1
输入顶点信息:
0 1 2 3
输入边信息:
1 0 1 2 2 1 2 0 0 3
邻接表中存储信息:
0->3
1->2 1->0
2->0 2->1
*/
GraphLink g = (Graph *)malloc(sizeof(Graph));
creatGraph(&g);
putGraph(g);
return 0;
}
图的遍历
一、深度优先遍历
邻接矩阵实现
- 将图的顶点和边信息输入到图结构中。
- 创建一个visited数组,用来标识顶点是否已经被遍历过。
- 初始化visited数组,将数组中元素置为FALSE。
- 选择顶点开始遍历,[注意非连通图的情况]。
- 进入递归,打印 i 对应的顶点信息,并将该顶点标识为已遍历。
- 循环遍历表,判断arc[i][j]是否是1,并且当前顶点没有被遍历过,则继续遍历DFS。
typedef char VertexType; /* 顶点类型应由用户定义 */
typedef int EdgeType; /* 边上的权值类型应由用户定义 */
typedef struct
{
VertexType vexs[MAXVEX]; /* 顶点表 */
EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];/* 邻接矩阵,可看作边表 */
int numVertexes, numEdges; /* 图中当前的顶点数和边数 */
}MGraph;
/*4.1 构建一个邻接矩阵*/
void CreateMGraph(MGraph *G)
{
int i, j;
//1. 确定图的顶点数以及边数
G->numEdges=15;
G->numVertexes=9;
/*2.读入顶点信息,建立顶点表 */
G->vexs[0]='A';
G->vexs[1]='B';
G->vexs[2]='C';
G->vexs[3]='D';
G->vexs[4]='E';
G->vexs[5]='F';
G->vexs[6]='G';
G->vexs[7]='H';
G->vexs[8]='I';
/*3. 初始化图中的边表*/
for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)
{
for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++)
{
G->arc[i][j]=0;
}
}
/*4.将图中的连接信息输入到边表中*/
G->arc[0][1]=1;
G->arc[0][5]=1;
G->arc[1][2]=1;
G->arc[1][8]=1;
G->arc[1][6]=1;
G->arc[2][3]=1;
G->arc[2][8]=1;
G->arc[3][4]=1;
G->arc[3][7]=1;
G->arc[3][6]=1;
G->arc[3][8]=1;
G->arc[4][5]=1;
G->arc[4][7]=1;
G->arc[5][6]=1;
G->arc[6][7]=1;
/*5.无向图是对称矩阵.构成对称*/
for(i = 0; i < G->numVertexes; i++)
{
for(j = i; j < G->numVertexes; j++)
{
G->arc[j][i] =G->arc[i][j];
}
}
}
/*4.2 DFS遍历*/
Boolean visited[MAXVEX]; /* 访问标志的数组 */
//1. 标识顶点是否被标记过;
//2. 选择从某一个顶点开始(注意:非连通图的情况)
//3. 进入递归,打印i点信息,标识; 边表
//4. [i][j] 是否等于1,没有变遍历过visted
void DFS(MGraph G,int i){
//1.
visited[i] = TRUE;
printf("%c",G.vexs[i]);
//2.0~numVertexes
for(int j = 0; j < G.numVertexes;j++){
if(G.arc[i][j] == 1 && !visited[j])
DFS(G, j);
}
}
void DFSTravese(MGraph G){
//1.初始化
for(int i=0;i<G.numVertexes;i++){
visited[i] = FALSE;
}
//2.某一个顶点
for(int i = 0;i<G.numVertexes;i++){
if(!visited[i]){
DFS(G, i);
}
}
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
// insert code here...
printf("邻接矩阵的深度优先遍历!\n");
MGraph G;
CreateMGraph(&G);
DFSTravese(G);
printf("\n");
return 0;
}[图片上传中...(截屏2023-05-22 14.27.29.png-64a558-1684736943236-0)]
邻接表实现
实现思路与上面邻接矩阵的思路是一样的,遍历顶点i的链表指向链中,首个未被遍历过的顶点j,接着将顶点j置为已遍历,继续遍历顶点j相关的链信息。
#define MAXSIZE 9 /* 存储空间初始分配量 */
#define MAXEDGE 15
#define MAXVEX 9
#define INFINITYC 65535
typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码,如OK等 */
typedef int Boolean; /* Boolean是布尔类型,其值是TRUE或FALSE */
typedef char VertexType; /* 顶点类型应由用户定义 */
typedef int EdgeType; /* 边上的权值类型应由用户定义 */
/* 邻接矩阵结构 */
typedef struct
{
VertexType vexs[MAXVEX]; /* 顶点表 */
EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];/* 邻接矩阵,可看作边表 */
int numVertexes, numEdges; /* 图中当前的顶点数和边数 */
}MGraph;
/* 邻接表结构****************** */
typedef struct EdgeNode /* 边表结点 */
{
int adjvex; /* 邻接点域,存储该顶点对应的下标 */
int weight; /* 用于存储权值,对于非网图可以不需要 */
struct EdgeNode *next; /* 链域,指向下一个邻接点 */
}EdgeNode;
typedef struct VertexNode /* 顶点表结点 */
{
int in; /* 顶点入度 */
char data; /* 顶点域,存储顶点信息 */
EdgeNode *firstedge;/* 边表头指针 */
}VertexNode, AdjList[MAXVEX];
typedef struct
{
AdjList adjList;
int numVertexes,numEdges; /* 图中当前顶点数和边数 */
}graphAdjList,*GraphAdjList;
/*4.1 构建一个邻接矩阵*/
void CreateMGraph(MGraph *G)
{
int i, j;
//1. 确定图的顶点数以及边数
G->numEdges=15;
G->numVertexes=9;
/*2.读入顶点信息,建立顶点表 */
G->vexs[0]='A';
G->vexs[1]='B';
G->vexs[2]='C';
G->vexs[3]='D';
G->vexs[4]='E';
G->vexs[5]='F';
G->vexs[6]='G';
G->vexs[7]='H';
G->vexs[8]='I';
/*3. 初始化图中的边表*/
for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)
{
for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++)
{
G->arc[i][j]=0;
}
}
/*4.将图中的连接信息输入到边表中*/
G->arc[0][1]=1;
G->arc[0][5]=1;
G->arc[1][2]=1;
G->arc[1][8]=1;
G->arc[1][6]=1;
G->arc[2][3]=1;
G->arc[2][8]=1;
G->arc[3][4]=1;
G->arc[3][7]=1;
G->arc[3][6]=1;
G->arc[3][8]=1;
G->arc[4][5]=1;
G->arc[4][7]=1;
G->arc[5][6]=1;
G->arc[6][7]=1;
/*5.无向图是对称矩阵.构成对称*/
for(i = 0; i < G->numVertexes; i++)
{
for(j = i; j < G->numVertexes; j++)
{
G->arc[j][i] =G->arc[i][j];
}
}
}
/*4.2 利用邻接矩阵构建邻接表*/
void CreateALGraph(MGraph G,GraphAdjList *GL){
//1.创建邻接表,并且设计邻接表的顶点数以及弧数
*GL = (GraphAdjList)malloc(sizeof(graphAdjList));
(*GL)->numVertexes = G.numVertexes;
(*GL)->numEdges = G.numEdges;
//2. 从邻接矩阵中将顶点信息输入
for (int i = 0; i < G.numVertexes; i++) {
//顶点入度为0
(*GL)->adjList[i].in = 0;
//顶点信息
(*GL)->adjList[i].data = G.vexs[i];
//顶点边表置空
(*GL)->adjList[i].firstedge = NULL;
}
//3. 建立边表
EdgeNode *e;
for (int i = 0; i < G.numVertexes; i++) {
for (int j = 0; j < G.numVertexes; j++) {
if (G.arc[i][j] == 1) {
//创建边表中的邻近结点 i->j
e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
//邻接序号为j
e->adjvex = j;
//将当前结点的指向adjList[i]的顶点边表上
e->next = (*GL)->adjList[i].firstedge;
(*GL)->adjList[i].firstedge = e;
//顶点j 上的入度++;
(*GL)->adjList[j].in++;
}
}
}
}
Boolean visited[MAXSIZE]; /* 访问标志的数组 */
/* 邻接表的深度优先递归算法 */
void DFS(GraphAdjList GL, int i)
{
EdgeNode *p;
visited[i] = TRUE;
//2.打印顶点 A
printf("%c ",GL->adjList[i].data);
p = GL->adjList[i].firstedge;
//3.
while (p) {
if(!visited[p->adjvex])
DFS(GL,p->adjvex);
p = p->next;
}
}
/* 邻接表的深度遍历操作 */
void DFSTraverse(GraphAdjList GL)
{
//1. 将访问记录数组默认置为FALSE
for (int i = 0; i < GL->numVertexes; i++) {
/*初始化所有顶点状态都是未访问过的状态*/
visited[i] = FALSE;
}
//2. 选择一个顶点开始DFS遍历. 例如A
for(int i = 0; i < GL->numVertexes; i++)
//对未访问过的顶点调用DFS, 若是连通图则只会执行一次.
if(!visited[i])
DFS(GL, i);
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
// insert code here...
printf("邻接表的深度优先遍历!\n");
MGraph G;
GraphAdjList GL;
CreateMGraph(&G);
CreateALGraph(G,&GL);
DFSTraverse(GL);
printf("\n");
return 0;
}
二、广度优先遍历
可把原图形结构看作分等级的树形结构,类似如下:
特点:
- 把根结点放到队列末尾。
- 每次从队列的头部取出一个元素,查看这个元素所有的下一级元素,把它们放到队列的末尾,并把这个元素记为下一级元素的前驱。
- 找到所要找的元素时结束程序。
- 如果遍历整个树还没有找到,结束程序。
思路:从根结点入手,入队列根结点,然后出队列根结点,此时入队列与根结点A相连的顶点B、F,然后出队列B,将与B顶点相连的未遍历过的顶点入队列,依次进行下去。
代码实现
邻接矩阵方式重要代码:
Boolean visited[MAXVEX]; /* 访问标志的数组 */
void BFSTraverse(MGraph G){
//int temp = 0;
//1.
Queue Q;
InitQueue(&Q);
//2.将访问标志数组全部置为"未访问状态FALSE"
for (int i = 0 ; i < G.numVertexes; i++) {
visited[i] = FALSE;
}
//3.对遍历邻接表中的每一个顶点(对于连通图只会执行1次,这个循环是针对非连通图)
for (int i = 0 ; i < G.numVertexes; i++) {
if(!visited[i]){
visited[i] = TRUE;
printf("%c ",G.vexs[i]);
//4. 入队
EnQueue(&Q, i);
while (!QueueEmpty(Q)) {
//出队
DeQueue(&Q, &i);
for (int j = 0; j < G.numVertexes; j++) {
if(G.arc[i][j] == 1 && !visited[j])
{ visited[j] = TRUE;
printf("%c ",G.vexs[j]);
EnQueue(&Q, j);
}
}
}
}
}
}
邻接表方式重要代码:
Boolean visited[MAXSIZE]; /* 访问标志的数组 */
void BFSTraverse(GraphAdjList GL){
//1.创建结点
EdgeNode *p;
Queue Q;
InitQueue(&Q);
//2.将访问标志数组全部置为"未访问状态FALSE"
for(int i = 0; i < GL->numVertexes; i++)
visited[i] = FALSE;
//3.对遍历邻接表中的每一个顶点(对于连通图只会执行1次,这个循环是针对非连通图)
for(int i = 0 ;i < GL->numVertexes;i++){
//4.判断当前结点是否被访问过.
if(!visited[i]){
visited[i] = TRUE;
//打印顶点
printf("%c ",GL->adjList[i].data);
EnQueue(&Q, i);
while (!QueueEmpty(Q)) {
DeQueue(&Q, &i);
p = GL->adjList[i].firstedge;
while (p) {
//判断
if(!visited[p->adjvex]){
visited[p->adjvex] = TRUE;
printf("%c ",GL->adjList[p->adjvex].data);
EnQueue(&Q, p->adjvex);
}
p = p->next;
}
}
}
}
}