普通主席树
普通主席树比较简单 就是很多个权值线段树 每一次加进去log个节点（每层一个），剩下的节点用原来的线段树中的节点直接连到新节点上就好了
线段树
image
插入节点
image
主席树
image
主席树拆开之后
image
POJ2104 主席树模板题 代码：
#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll read(){
ll x=0,f=1;char c=getchar();
while(c<'0' || c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(c>='0' && c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
return x*f;
}
const int maxn=100100,maxm=5050;
int n,m,cnt,nums;
int a[maxn],b[maxn],num[maxn],root[maxn];
vector<int> vec;
struct Node{
int l,r,val;
} tr[maxn*40];
int getid(int x){return int(lower_bound(vec.begin(),vec.end(),x)-vec.begin())+1;}
void update(int l,int r,int &x,int y,int val){
nums++;tr[nums]=tr[y];tr[nums].val++;x=nums;
if(l==r) return;
int md=(l+r)>>1;
if(val<=md) update(l,md,tr[x].l,tr[y].l,val);
else update(md+1,r,tr[x].r,tr[y].r,val);
}
int ask(int l,int r,int x,int y,int val){
if(l==r) return l;
int md=(l+r)>>1;
int nw=tr[tr[y].l].val-tr[tr[x].l].val;
if(val<=nw) return ask(l,md,tr[x].l,tr[y].l,val);
else return ask(md+1,r,tr[x].r,tr[y].r,val-nw);
}
int main(){
#ifdef LZT
//freopen("in","r",stdin);
#endif
n=read(),m=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
a[i]=read(),vec.push_back(a[i]);
sort(vec.begin(),vec.end());vec.erase(unique(vec.begin(),vec.end()),vec.end());
for(int i=1;i<=n;i++)
a[i]=getid(a[i]),update(1,n,root[i],root[i-1],a[i]);
for(int i=1;i<=m;i++){
int l=read(),r=read(),k=read();
printf("%d\n",vec[ask(1,n,root[l-1],root[r],k)-1]);
}
return 0;
}j
/*
7 3
1 5 2 6 3 7 4
2 5 3
4 4 1
1 7 3
*/
可修改主席树
其实就是树状数组套主席树
为什么不能直接修改呢？
因为主席树的第i棵树是被第i+1到n棵树包含的
那么每次修改就得把后面的所有的树全部修改一遍
如果运气不好 复杂度可能达到$O(mn \log n)
那么我们需要一个每个点可以通过log的时间算出来并且修改也只需log的时间的东西----->树状数组
ZOJ2112 Dynamic Rankings
这是一道可修改主席树的模板题
目前并没有看出来这个数据结构有什么应用 但是感觉很有用的样子
好像也可以cdq分治+整体二分做
这题比较卡内存 所以初值单独记录在一个线段树中 修改记录在树状数组中 查询的时候综合一下
时间复杂度: O(M×logn×logn+nlogn)
代码:
//#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include <string>
#include<string.h>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
#include<utility>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
#define eps 1e-8
#define pii pair<int,int>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define rd(x) scanf("%d",&x)
#define rd2(x,y) scanf("%d%d",&x,&y)
#define ll long long int
#define mod 1000000007
#define maxn 60005
#define maxm 2500005
int m,n,nn,tot;
int a[maxn],f[maxn],T[maxn],S[maxn];
int sum[maxm],l[maxm],r[maxm];
int use[maxn];
int h(int x){//该值在离散化后线段树的位置
return lower_bound(f+1,f+1+nn,x)-f;
}
void update(int pr,int lx,int rx,int v,int k){//插入，即新建第i个线段树
l[++tot]=l[pr];r[tot]=r[pr];sum[tot]=sum[pr]+k;
if(lx==rx) return;
int mid=(lx+rx)>>1;
if(v<=mid) {
l[tot]=tot+1;
update(l[pr],lx,mid,v,k);
}
else {
r[tot]=tot+1;
update(r[pr],mid+1,rx,v,k);
}
}
void build(int rt,int lx,int rx){//初始化空树
sum[rt]=0;
if(lx==rx) return;
l[rt]=++tot;
int mid=(lx+rx)>>1;
build(tot,lx,mid);
r[rt]=++tot;
build(tot,mid+1,rx);
}
int lowbit(int x){return x&(-x);}
int Sum(int x){
int res=0;
for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) res+=sum[l[use[i]]];
return res;
}
void add(int x,int v,int k)
{
int tt;
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
tt=S[i];
S[i]=tot+1;
update(tt,1,nn,v,k);
}
}
int query(int L,int R,int k){
for(int i=L-1;i;i-=lowbit(i)) use[i]=S[i];//use记录要操作的线段树下标
for(int i=R;i;i-=lowbit(i)) use[i]=S[i];
int lx=1,rx=nn;
int lt=T[L-1],rt=T[R];
while(lx<rx){
int mid=(lx+rx)>>1;
int tmp=Sum(R)-Sum(L-1)+sum[l[rt]]-sum[l[lt]];
if(k<=tmp){
rx=mid;
for(int i=L-1;i;i-=lowbit(i)) use[i]=l[use[i]];
for(int i=R;i;i-=lowbit(i)) use[i]=l[use[i]];
lt=l[lt];rt=l[rt];
}
else{
lx=mid+1;k-=tmp;
for(int i=L-1;i;i-=lowbit(i)) use[i]=r[use[i]];
for(int i=R;i;i-=lowbit(i)) use[i]=r[use[i]];
lt=r[lt];rt=r[rt];
}
}
return f[lx];
}
char op[5];
int q[10005][4],t;
int main()
{
rd(t);
while(t--){
rd2(n,m);
for(int i=1;i<=n;i++) {
rd(a[i]);f[i]=a[i];
}
nn=n;
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%s",op);
if(op[0]=='Q') {
scanf("%d%d%d",&q[i][1],&q[i][2],&q[i][3]);
q[i][0]=1;
}
else{
scanf("%d%d",&q[i][1],&q[i][2]);
q[i][0]=0;
f[++nn]=q[i][2];
}
}
sort(f+1,f+1+nn);
nn=unique(f+1,f+1+nn)-f-1;//离散化线段树，并去重
tot=0;
T[0]=0;
build(0,1,nn);
for(int i=1;i<=n;i++){
T[i]=tot+1; //T[i]记录第i个线段树的根
update(T[i-1],1,nn,h(a[i]),1);
}
for(int i=1;i<=n;i++) S[i]=T[0];
// int L,R,k,x;
for(int i=1;i<=m;i++){
if(q[i][0]){
printf("%d\n",query(q[i][1],q[i][2],q[i][3]));
}
else{
add(q[i][1],h(a[q[i][1]]),-1);
add(q[i][1],h(q[i][2]),1);
a[q[i][1]]=q[i][2];
}
}
}
return 0;
}
