今天看到「善科题库」发了一条微博，求函数 f(x) =\sin^6 x+\cos^6 x 的值域 。
这个题目当然是很简单的，高中套路题，算一下 就好啦，无聊的我居然真的拿笔算了一下，答案是
。
然后我又想着用 Mathematica 算一下指数是其他数时的情况，发现这个是有规律的啊，
观察可以发现，对于 ，当
时值域是
，当
时要看
的奇偶性，当
是奇数时值域一直是
，当
是偶数时值域是
。为了表达的美观性，可以记
为偶数时
，
的值域是
。
观察到了结论，想一想怎么说明它吧，试了试也不是很难。
时是很熟悉的
当 时，
等号可以取到，比如 时。所以
时
的最大值就是
。
-
时，考虑到
在
上是一个下凸函数，有
当
时取到最小值；
-
为大于
的奇数时，
等号可以取到，比如
时。
考虑函数的连续性，到这里就完成说明了，可以确定 的值域正如前面观察到的那样。
参考：
