学术札记

逻辑三引

杨英锐

（一）逻辑链

知识生成中有一个逻辑链。我们知道，一般归类，有三种不同的推理形式，即归纳 (induction)，演绎 (deduction), 与溯因（abduction)。三者形成知识生成逻辑链，甚至形成逻辑环路。

1.1 归纳逻辑

归纳推理是在经验科学研究中使用的基本推理形式。从一些已观测到事实出发，提炼出科学假设，构建其模型，做出科学预测。再设计实验，实施观测，收集原始数据，做好统计分析。然后将分析结果写成实验报告，综合理论框架，写成文章发表。

经验科学的特征是，在推理检测中，不可能观测总体，而只能测量样本或样本集。也就是说，经验科学的语言是统计的也只能是统计的。推理检验，一定要考虑误差，不是第一类误差就是第二类误差，两头都堵住了。这显然是合理的。

1.2 演绎推理

演绎推理是从一组给定前提出发，一步步推出结论，其间每一步必须应用某预先设定的推理规则或公理。演绎推理一般是在一个公理化逻辑系统（或自然演绎）中做推演。公理是事先选定的；注意，是由人根据某种理由选定的，而不是由上帝钦定的。

演绎推理是数学研究的基本工具。数学本身也是由各种公理系统所组成，如公理化集合论中的策梅罗公理系统（ZF）和欧几里得几何系统，等等。一个数学定理，就是某公理系统中被演绎推理推出的某条用数学语言表述的命题。这样的命题，我们说，在某个公理系统中是“可证明”的，放宽一点说，在此公理系统中“是真的”。此处为真是在两套公理局限之下，即某逻辑公理系统与某数学公理系统。

1.3 溯因逻辑

溯因逻辑可以有两个说法，其一跟归纳有关，其二跟演绎有关。字面上说，abduction 的直译是捆挷。用在这，就是溯因推理可以把归纳和演绎联系起来。溯因推理有二层意思。

溯因推理的第一层意思是，基于若干有限的事实，什么是能做出的最好预测。这就避免了无限归纳，因为无限归纳满足归纳边际递减法则。这是溯因与归纳的关联。

溯因推理的第二层意思是，对于所给的一组前提，当有新的信息时，可以根据新信息对前提做修改，然后继续推理。这是溯因与演绎的关联。

由上可知，溯因逻辑左联归纳逻辑，右联演绎逻辑，是为“捆绑”。这字面直译不仅是妙翻，还是绝译，兼俱信达雅。

小结：演绎推理，归纳推理和溯因推理，形成了从分析科学包括数学到经验科学包括物理学的认知逻辑链。这“是真的”。这个认知路径具有高度可选择性。

（二）元语言，元逻辑与元数学

在学术语言中，“元”字的英文对应是“meta”。相应地，元语言对应meta-language, 元逻辑对应meta-logic, 而元数学对应meta-mathematics。这里面的小横是为了突出前辍，正式行文中可以略去（这时，电脑上拼写检查会有红线提示。）另外，大家都知道，形而上学的英文是metaphysics。

2.1 对象语言

在现代逻辑学中，一个逻辑是一个形式系统，由其形式语言刻画。这种形式语言有二个标准组分，即形式句法和形式语义学。以命题逻辑（亦称命题演算）为例，形式句法由词汇表（lexicons), 形成规则和推理规则组成。其形式语义学称为真值语义学，表征为真值表（即布尔代数）。由形式句法，定义了什么是证明。由形式语义学，定义了什么叫有效性。以上，所有这些，统称一个逻辑系统的对象语言。

2.2 元语言

讨论关于对象语言各种定义的语言，称为元语言。例如，在命题逻辑中，命题变元和逻辑算子是对象语言，由两者及括号形成的符号串有可数无穷之多。其中哪些是合语法的合式公式（well-formed formulas, wffs), 哪些不是，就要有形成规则来判定。符号串有无穷多，其复杂度（其中的逻辑算子数）递增。所以形成规则只能归纳定义。比如，符合串（p&q)属于对象语言；但在归纳定义中，不能说任何具体的公式。为了保持定义的一般性，就必须说也只能说，对于任意给定合式公式A。这个A, 就属于元语言。

2.3 元逻辑

元逻辑是关于一个逻辑系统的整体性质。这种整体性质主要有两个，即协调性和完全性。在一个逻辑系统中，形式句法和形式语义学是分别构建的。我们希望两者等权，既非模型化过分亦非模型化不充分。这就要求在句法证明和语义有效性之间架起一座双向桥梁。协调性是说：对于任意给定一组前提和一个结论，如果其间是可证明的，则这个证明是有效的。这叫语义协调。完全性是说，对于任意给定一组前提和一个结论，如果其推理是有效的，则这个推理是可证的。

命题逻辑满足语义协调性又满足完全性。1930年，哥德尔证明了一阶谓词逻辑的完全性定理（一种存在性证明而非构造性证明）。额外提一句，不加说明：在这些证明中，有二个主要技巧，即利用可满足性与谓词前置。

2.4 元数学

在数学大厦之下，有没有一个坚实的逻辑基础呢？这叫元数学问题，是希尔伯特23问题之一。元数学中最著名的是哥德尔不完性定理和塔斯基不可定义性定理，堪称元数学双子定理。

哥德尔在逻辑与数学之间建立了一座桥梁。他在一阶逻辑与皮亚诺算术间实现了双向变换。为实现这个变换，他使用或创造了一系列数学技巧，如枚举数，配数法与哥德尔数，可表达性，素数分解唯一性定理等。然后，再将溶入了一阶逻辑的算术系统二次形式化，做成一阶理论。在一阶理论中，哥德尔构造了一种自指语句，并证明了其独立性，即其在一阶理论中是不可证明亦不可否证的。这是一个句法性定理。由此推论出一阶理论不完全性定理。

塔斯基不可定义性定理是一个语义性定理。其中的定义与证明使用几乎所有哥德尔技术并利用了撒谎者悖论。塔斯基引入可定义性概念，并证明了，如果将语义概念“真”处理成语法谓词“是真的”，则这个真谓词的语义模型是空集，即谓词真不可定义。

以上双子定理珠连璧合，堪称绝代双骄。

2.5 独立命题

然而，成也双子定理，败也双子定理。自从哥德尔和塔斯基笑傲江湖之后，元数学研究似乎寂静了。

独立命题到底意味着什么？难道希尔伯特的深刻问询应该就此止步了吗？我以为，我们还没有认真回答这些问题。

2.6 科学语言

任何成熟的科学语言，一定应该能够分离出其句法结构与其语义学，从而能够定义其元性质。例如，在决策论中，有其三层句法结构及其效用语义学。两者之间的元性质是表示定理。在非合作博弈论中，亦有其三层句法结构及其效益语义学，其元性质是纳什均衡。在量子力学中，有狄拉克 bra-ket 形式句法及其玻恩概率语义学；注意，这里没有提到元性质。

上段最后没有提到元性质，因为我没想明白。数学语言和物理语言，千沟万壑，令人敬畏，非大师级别难辨经纬，亦非一个范畴论所能局限。在大数据语言模型时代，神坛降级，面纱渐启，我们会更有条件一探究竟。这些背后，都有一个“背锅侠”， 叫做柏拉图客观世界，亦可称元世界。所以，这些也是柏拉图机所要处理的问题。

（三）概念与真相

3.1 概念论

当人们讨论逻辑学的时候，有一个经常被忽略的内容，即概念论。概念论是逻辑学的重要组成部分，也是心理语言学的研究对象。概念论在几乎所有学科，包括数学，哲学，自然科学和社会科学，甚至网络科学与日常语言中都是不可或缺的。

周礼全先生曾任中国社科院哲学所逻辑室的室主任和中国逻辑学会会长，是金岳霖先生早年的研究生。他对逻辑学的贡献之一，就是其成名作《论概念发展的两个阶段》。

3.2 概念化路径

在数学文章中，在定理及其证明出现之前，您先看到是一些定义（definitions)。定义，就是引入新概念。在科学研究和日常交流中，不仅经常要对旧词做概念湹清，对其新用法予以解释，还必须对新引入的词汇做说明，乃至定义。每个概念有一个发展过程，从想法（idea), 到初级概念（concept), 再到高级概念（notion), 必要时提炼出科学概念，即定义（definition)。

同样一个词，可以在不同科学领域有不同的意思，也就是可以表达不同概念，这就更需要定义，不仅独立表达，还要有其区别。例如，“相”这个概念，在物理学中可以用来表达各种物态，如液相，气相和固相等，从一种相变化到另一种相，称为相变。在数学上，有相位的概念，如动力学相位，贝里几何相位，样本相位，不可积相因子，等等。相位有角的意思，如温伯格角。所有这些科学概念，都有定义。换言之，这些概念是被定义了的。再换句话说，这些概念是被定义出来的。另换句话说，这些定义是有概念的。所以，我们常说，要把握一个定义，就要理解其概念，而理解其概念就要了解其原始的想法。如此变着说法，好像是绕来绕去，其实每个说法都自有其不同的理解角度。这些，在概念论中，统称概念化路径。

3.3 概念原型

心理语言学发现，人们的概念发展，既不是源于最简单的概念，也不是源于最复杂的概念，而是源于某些概念原型（prototype)。概念原型可被简单化，类似于人们日常用语“什么叫凡尔赛，说白了，就是不露声色地自我表现”。概念原型也可以被复杂化，尤其是在科学定义中，先设定一些条件，然后再给出其概念。

概念化有范畴化的功能。例如，集合是一个概念，可以用集合论语言刻画的对象及其关系就形成一个范畴。心理语言学家雷克夫有一本著名的书《Woman, Fire, and Dangerous Things》，这书名说的就是一个范畴，其中概念原型，留给读者自己体会。

3.4 概念功能

在科学思维中，直觉（intuition)与洞察(insight)以及类比（analogy)是形成想法(idea)的重要来源。在科学理论中，清晰的定义是不可或缺的；不然怎么推理呢，也难以交流。然而，从想法到定义，高低之别就要看概念化的本事了，即表现为概念化功能。

3.5 概念艺术

概念化确实是一种艺术。当年温伯格把两种常数一夹，就夹出温伯格角的概念来。王正行先生在《简明量子场论》中，称其为神来之笔，所言不虚。再代入代入，推理推理，就得出中性流的概念公式，由此确立了弱力理论。这种概念化艺术，就是本事。说谁谁谁做学问有功底，是一回事。说其做学问有本事，概念化手法高超巧妙是题中应有之义。

另外，很多科学概念都是冠名的，例如电子库柏对或盖尔曼色荷等。所以，概念化本事也是出名的一种本钱。若再能被写进教科书，就会被经常提起啦。

3.6 概念认知

概念化是一种认知通道，具有个体差异。有时候，有了想法，却很长一段时间难以形成理论。这中间，一定是缺概念。有了想法，很快形成理论，其中大概率是引入了新概念。想法是理论的基础，但概念是理论支撑框架。

然而，新概念的引入不仅是艺术，也不仅靠训练，甚或也非全凭洞察，其实还需要勇气。一个科学家或学者，您回忆一下自己放弃过多少引入新概念的机会，冷暖自知。

引入新概念的机会，与科学文化有关。冠名文化越盛行，引入新概念的可能性就越大。

3.7 真相何在

说了半天概念，终于说到真相。真相是现象学的议题。有兴趣的读者可以去读柏格森直觉主义哲学和胡塞尔现象学。这里想说的是，概念化是对真相的科学“处理”。

在逻辑学中，逻辑算子是对自然语言或数学语言的“逻辑处理”。一种科学处理，就是对真相有所取舍。在数学中，平凡化处理就是一种将予与之，必先取之的道理。这在物理学里叫唯象理论。

（2024-6-9）