电磁学乱七八糟的符号(四)

电磁学乱七八糟的符号(四)

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author:何伟宝

这里重点是一般传输规律和矩形波导,chapter6 电磁波的传输

[TOC]

纵向场量法

说白了也就是从麦克斯韦方程式抽象出我们需要的波动方程,流程如下:


流程

矢量波动方程

在无源自由空间场量中(由麦克斯韦方程式):
\nabla^2 \vec E+k^2\vec E=0 \tag{1.1}
\nabla^2 \vec H+k^2\vec H=0 \tag{1.2}
在波导中,设电磁波沿着z轴传输:
\vec E(x,y,z) = \vec E(x,y)e^{\gamma r } \tag{1.3}
\vec H(x,y,z) = \vec H(x,y)e^{\gamma r } \tag{1.4}
其中有:

行波因子\gamma

在上一章说过他也是一个传播常数,当\gamma为实数时,信号衰减.虚数时信号传播,且波数为其虚部

矢量分解

这里有意地把纵横量分开了:
\vec E = (\vec a_x E_x+\vec a_y E_y) + \vec a_z E_z
\vec H = (\vec a_x H_x+\vec a_y H_y) + \vec a_z H_z
顺便把拉普拉斯算符\nabla也分开:
\nabla_t^2 = (\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2})+ \frac {\partial^2}{\partial z^2}=\nabla^2_{xy}+\frac {\partial^2}{\partial z^2}

标量波动方程

将矢量分解的三个方程先带入(1.3)(1.4)再代入(1.1)(1.2),只截取纵向分量得:

\nabla^2_{xy}\vec E_z+(k^2+\gamma^2)\vec E_z=0
\nabla^2_{xy}\vec H_z+(k^2+\gamma^2)\vec H_z=0

再将上式改写成(1.3)(1.4)形式:
E_z(x,y,z) = E_z(x,y)E^{-\gamma z}
H_z(x,y,z) = H_z(x,y)H^{-\gamma z}

考虑麦克斯韦方程的旋度式:
\nabla \times \vec E=-j\omega \mu \vec H
\nabla\times\vec H =j\omega\varepsilon \vec E
联立上四式可得六个标量方程:

\frac{\partial E_z}{\partial y}+\gamma E_y = -j\omega \mu H_x \tag{标量1}
-\gamma E_x -\frac{\partial E_z}{\partial x}=-j\omega \mu H_y \tag{标量2}
\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial x}=-j\omega \mu H_z \tag{标量3}
千万不要慌,由麦克斯韦美好的对称性可以知道,我们只要算一对叉乘就可以了,由对称性:
\frac{\partial H_z}{\partial y}+\gamma H_y = j\omega \varepsilon E_x \tag{标量4}
-\gamma H_x -\frac{\partial H_z}{\partial x}=j\omega \varepsilon E_y \tag{标量5}
\frac{\partial H_y}{\partial x}-\frac{\partial H_x}{\partial x}=j\omega \varepsilon E_z \tag{标量6}

纵横关系式

联立以上六式可得(解这个会有点痛苦,但是这不重要)纵横关系式:

E_x = -\frac {1} {k_c^2}(\gamma\frac{\partial E_z}{\partial x}+j\omega\mu\frac{\partial H_z}{\partial y})\tag{e.x}
E_y = -\frac {1} {k_c^2}(\gamma\frac{\partial E_z}{\partial y}-j\omega\mu\frac{\partial H_z}{\partial x})\tag{e.y}
H_x = -\frac {1} {k_c^2}(\gamma\frac{\partial H_z}{\partial x}-j\omega\mu\frac{\partial E_z}{\partial y})\tag{h.x}
H_y = -\frac {1} {k_c^2}(\gamma\frac{\partial H_z}{\partial y}+j\omega\mu\frac{\partial E_z}{\partial x})\tag{h.y}
其中:
k_c^2=k^2+\gamma^2
如果不用书本的表示方法的话,你会发现一点公式的美学...

自此,纵向常量法就介绍完成了.这里的重点在于纵横关系式

各种导波的一般传输特性

概述

这一小节解决的问题是,某种电磁波要在波导中传输的存在可能性问题.重点有TEM,TE,TM波等.并且提供假设各种波存在的时候,怎么求解波动方程的思路.

TEM横电磁波

还是回到我们熟悉的波动方程,可以把上面的纵横关系式:
\nabla^2_{xy}E_z + k_c^2 E_z=0 \tag{波动1}
\nabla^2_{xy}H_z + k_c^2 H_z=0 \tag{波动2}
显然这一节的教材安排是不合理的...因为在TEM波中:
E_z=0,H_z=0
显然代入纵横关系式中,全军覆没......所以分析横电磁波的时候不能采用纵向常量法得到直接表达式
这时候我们可以代入得到纵横关系式前面一点的关系式中:
k_c^2=0\quad或\quad\gamma^2+k^2=0\tag{2.1}
\nabla^2_{xy}\vec E(x,y)=0 \quad \quad \nabla^2_{xy}\vec H(x,y)=0 \tag{tem}
那么我们就可以知道,代入纵横关系式会凉凉的原因是,(tem)他看上去就是一个静态场的方程,用麦克斯韦旋度式便变成0了.

这也启发我们,在求解TEM波动方程的时候,之需要先算出导波的横向分布函数,再乘以纵向传播因子e^{-\gamma z}就可以得到波动方程了.而且并不是每一种波导都会有TEM模.

存在条件

首先说明的一点是:空心波导只能传输TM或TE波,不能传输TEM波,因为在无外源的无限长导体空管中不可能存在静电场
书上P175,结合来看吧..(懒得打字)

TEM传播常数和相速

由(2.1)可知
\gamma=\alpha+j\beta =jk=j\omega \sqrt{\varepsilon \mu}
解得
\alpha =0 \quad,\quad \beta =\omega\sqrt{\varepsilon \mu}
所以相速为:
v=\frac {\omega}{\beta}=\frac1{\sqrt{\varepsilon \mu}}
可以看出TEM模导行波是与频率无关的非色散波

TEM的波阻抗

由(标量2)和(标量6)并代入TEM的定义式:
\gamma E_x=j\omega \mu H_y
\gamma H_y=j\omega \varepsilon E_x
代入\gamma = j\omega\sqrt{\varepsilon \mu}得(注意,求解不是联立.只要用其中一条代入就行了)
Z^{TEM}=\frac{E_x}{H_y}=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}=\eta
可以看出,Z^{TEM}和频率是没有关系的.
所以:TEM模在任何频率下都能传播非色散横电磁波

TE nor TM

在TM波中,E_z \neq 0和H_z=0.所以只需要代入(波动1),同理:
在TE波中,H_z \neq 0和E_z=0.所以只需要代入(波动2)

存在条件

可以看出,无论是哪一种,k_c^2都不会等于0,所以:
\gamma^2+k^2 \neq 0
被称为波导中TM波和TE波的存在条件。

传播常数和截止频率

由传播因子e^{-j\gamma z}可以知道，在e^{-\gamma z}\to 0时,传播截止.这个时候有\gamma \to 1
所以有:
\gamma=\sqrt{k^2_c-\omega_c^2 \varepsilon \mu}=0
解得:
f_c=\frac{k_c}{2\pi\sqrt{\varepsilon\mu}}
其中,f_c被称为截止频率或临界频率(c to cut),所以反过来求\gamma得:
\gamma=\begin{cases} jk\sqrt{1-(\frac{f_c}{f})^2}= j\beta \quad f>f_c \\k_c\sqrt{1-(\frac{f_c}{f})^2}=\alpha\quad f<f_c \end{cases}
可以看出:
当f<f_c时,传播因子变成了e^{-\alpha z},是一个衰减型凋落场
当f>f_c时,传播因子变成了e^{-j\beta z},表示一个传播型色散行波

相速和波导波长

当f>f_c时,因为是一个色散波,我们可以来讨论一下他的相速,由上面:
\beta=k\sqrt{1-(\frac{f_c}{f})^2}
所以有,相速:
v_p=\frac\omega\beta=\frac{v}{\sqrt{1-(\frac{f_c}{f})^2}}>v

波导内波导行波的波长称为波导波长:
\lambda_g=\frac{2\pi}{\beta}=\frac{2\pi}{k}\frac1{\sqrt{1-(\frac{f_c}{f})^2}}=\frac\lambda{\sqrt{1-(\frac{f_c}{f})^2}} >\lambda
表明导行波是与频率有关的色散行波

波阻抗

TM波

由纵横关系式,结合tm波的特征可得:
E_x=-\frac{\gamma}{k_c^2}\bullet\frac{\partial E_z}{\partial x}
E_y=-\frac{\gamma}{k_c^2}\bullet\frac{\partial E_z}{\partial y}
H_x=\frac{j\omega\varepsilon}{k_c^2}\bullet\frac{\partial E_z}{\partial y}
E_y=-\frac{j\omega\varepsilon}{k_c^2}\bullet\frac{\partial E_z}{\partial x}
所以定义TM波的波阻抗为:
Z^{TM}=\frac{E_x}{H_y}=\frac{-E_y}{H_x}=\frac{\gamma}{j\omega\varepsilon}
消去\gamma得:
Z^{TM}=\begin{cases}\eta\sqrt{1-(\frac{f_c}{f})^2} =R^{TM},\quad \quad\quad\quad f>f_c \\-j\frac{k_c}{\omega\varepsilon}\sqrt{1-(\frac{f_c}{f})^2}=-jX_c^{TM}, \quad f<f_c \end{cases}

TE波

按照TM波的套路,代入E_z=0得:
Z^{TM}=\begin{cases}\eta\frac1{\sqrt{1-(\frac{f_c}{f})^2}} =R^{TE},\quad \quad\quad\quad f>f_c \\j\frac{\mu\omega}{k_c}\frac1{\sqrt{1-(\frac{f_c}{f})^2}}=jX_c^{TE},\quad \quad \quad f<f_c \end{cases}

互易性

由上面可以得出:
Z^{TM}\bullet Z^{TE}=\eta^2 =(Z^{TEM})^2
可以看到TE和TM波的波阻抗具有互易性

矩形波导

这里也是要做纵横关系式求解的最后一步,代入边界条件
由前面就可以知道,矩形波导不能传播TEM波
首先假设矩形波导的数学模型:

矩形波导

长a宽b壁导体
先上一张图辅助一下大家后面看边界条件的法向还是切向
传输图

TM(图的右边)

边界条件:

(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+k_c^2)E_z(x,y)=0
\begin{cases}E_z|_{x=0}=0,\quad E_z|_{x=a}=0 \\ E_z|_{y=0}=0,\quad E_z|_{y=b}=0\end{cases}
其中k_c^2=\gamma^2+k^2称为截止波数.
公式的意义是很明确的:
传播TM波的时候矩形波导的边界都没有电场强度
以下是我以为的原因(有异议可以评论,大家互相学习一下)

  1. 一个原因(一对边)在于,边界条件中,法向的电场强度连续,而理想导体内部没有电磁场
  2. 另一对边是因为,上一章说过的趋肤效应导致的,而由于是\sigma=\infty所以就为0了

纵向解

由于我们想求的纵横关系式中,x和y是独立分开的.所以假设:
E_z(x,y)=X(x)Y(y)
代入波动方程并化成常微分方程得:
\frac {d^2 X}{dx^2}+k_x^2 X=0
\frac {d^2 Y}{dx^2}+k_y^2 Y=0
其中:\quad \quad k_c^2=k_x^2+k^2_y
显然特征方程的根是两个纯虚数,故设通解:
X(x)=Asink_x x +Bcosk_x x
Y(y)=Csink_y y +Dcosk_y y

分别代入边界条件可得(书上P176):
E_z(x,y)=E_0 sin\frac{m\pi}{a}x sin \frac{n\pi}{b}y,\quad m,n=1,2,3......
其中:\quad\quad \quad E_0=AC由激励源强度确定
大概的思路是先带入x=0和y=0那两条,算出B,D=0再代入剩下两条即可.

横向解

现在求出了E_z的表达式,显然,代入一般情况可得:
E_x=-\frac{\gamma}{k_c^2}(\frac{m\pi}{a})E_0 cos\frac{m\pi}{a}xsin\frac{n\pi}{b}y
E_y=-\frac{\gamma}{k_c^2}(\frac{n\pi}{b})E_0 sin\frac{m\pi}{a}xsin\frac{n\pi}{b}y
H_x=\frac{j\omega\varepsilon}{k_c^2}(\frac{n\pi}{b})E_0 sin\frac{m\pi}{a}xcos\frac{n\pi}{b}y
H_y=\frac{j\omega\varepsilon}{k_c^2}(\frac{m\pi}{a})E_0 sin\frac{n\pi}{b}xcos\frac{m\pi}{a}y
其中:
k_c=\sqrt{\gamma^2+k^2}=\sqrt{k_x^2+k_y^2}=\sqrt{(\frac{m\pi}{a})^2+(\frac{n\pi}{b})^2}
由TE,TM的存在条件可以知道,当m=n=0时,方程无意义

TE(图的左边)

由于和TM是同一个套路,这里就直接给公式了:

边界条件

(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+k_c^2)H_z(x,y)=0
\begin{cases}H_z|_{x=0}=0,\quad H_z|_{x=a}=0 \\ H_z|_{y=0}=0,\quad H_z|_{y=b}=0\end{cases}

纵向解

H_z(x,y)=H_0 cos\frac{m\pi}{a}x cos\frac{n\pi}{b}y,\quad m,n=1,2,3......

横向解

E_x=\frac{j\omega\varepsilon}{k_c^2}(\frac{n\pi}{b})H_0 cos\frac{m\pi}{a}xsin\frac{n\pi}{b}y
E_y=-\frac{j\omega\varepsilon}{k_c^2}(\frac{m\pi}{a})H_0 sin\frac{m\pi}{a}xcos\frac{n\pi}{b}y
H_x=\frac{\gamma}{k_c^2}(\frac{m\pi}{a})H_0 cos\frac{n\pi}{b}ysin\frac{m\pi}{b}x
H_y=\frac{\gamma}{k_c^2}(\frac{n\pi}{b})H_0 sin\frac{m\pi}{a}xsin\frac{n\pi}{b}y
同理:m=n=0时,公式无意义

横场分布的物理特性

这里对应的是P178,下面列举出来只作复习回想用:

  1. 沿x,y的驻波性和z向的行波性
  1. 平面波的非均匀性
  2. 场的多模性
  3. 模式的兼并性
  4. 模式的阶次性

导波的纵场传输特性*

截止性(高通特性)

之前在一般传输特性就讲过这个问题,只是k可以由m和n给出,所以回代得:
k_c=\sqrt{\gamma^2+k^2}=\sqrt{k_x^2+k_y^2}=\sqrt{(\frac{m\pi}{a})^2+(\frac{n\pi}{b})^2}
f_c-\frac{k_c}{2\pi \sqrt{\varepsilon\mu}}=\frac1{2\sqrt{\varepsilon\mu}}\sqrt{(\frac ma)^2+(\frac nb)^2}
\lambda_c=\frac{2\pi}{k_c}=\frac2{\sqrt{(\frac ma)^2+(\frac nb)^2} }

色散性和滤波性

由上一个性质可以知道,在截取频率之前的波形都会因为传播常数的实部不为0而全部被去掉
所以当f>f_c时(\alpha=0):
\beta=\sqrt{\omega^2\varepsilon\mu-(\frac{m\pi}{a})^2-(\frac{n\pi}{b})^2}
\lambda_g=\frac{2\pi}{\beta}=\frac{2\pi}{\sqrt{\omega^2\varepsilon\mu-(\frac{m\pi}{a})^2-(\frac{n\pi}{b})^2}}
v_p=\frac{\omega}{\beta}=\frac{\omega}{\sqrt{\omega^2\varepsilon\mu-(\frac{m\pi}{a})^2-(\frac{n\pi}{b})^2}}

阻抗双重性

这个由截止性就知道,低于截止频率的波阻抗呈阻性,高于的呈电抗性:
Z^{TM}=\frac{\gamma}{j\omega\varepsilon}=\begin{cases}\frac1{\omega\varepsilon}\sqrt{\omega^2\varepsilon\mu-(\frac {m\pi}{a})^2-(\frac{n\pi}{b})^2}=R^{TM},\quad\quad \quad\quad f>f_c\\ -j\frac1{\omega\varepsilon}\sqrt{(\frac{m\pi}{a})^2+(\frac{n\pi}{b})^2-\omega^2\varepsilon\mu}=-jX_c^{TM},\quad \quad f<f_c\end{cases}

Z^{TE}=\frac{j\omega\mu}{\gamma}=\begin{cases}\frac1{\omega\mu}\frac1{\sqrt{\omega^2\varepsilon\mu-(\frac {m\pi}{a})^2-(\frac{n\pi}{b})^2}}=R^{TM},\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad f>f_c\\ j\omega\mu\frac1{\sqrt{(\frac{m\pi}{a})^2+(\frac{n\pi}{b})^2-\omega^2\varepsilon\mu}}=jX_c^{TM},\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad f<f_c\end{cases}

主模TE_{10}的传输特性

用主模传输的重点问题在于单模传输 单模传输 单模传输 单模传输

场分布

至于为什么TE^{10}是主模的话,就不说了,你只要把 m,n的各个值代进去纵横关系式,就可以知道了
E_y=\frac{\omega\mu a}{\pi}H_0sin{\frac{\pi}ax}cos(\omega t-\beta z-\frac\pi2)
H_x=\frac{\beta a}{\pi}H_0sin{\frac{\pi}ax}cos(\omega t-\beta z+\frac\pi2)
H_z=H_0cos\frac\pi a xcos(\omega t-\beta z)
...其他三个为0...

传输特性

根据前面说的那些,代入m=1,n=0得:
f_c=\frac1{2a\sqrt{\varepsilon\mu}}
\lambda_c=2a
\beta=k\sqrt{1-({\frac {f_c}{f}})^2}=\sqrt{\omega^2\varepsilon\mu-(\frac{\pi}{a})^2}
\lambda_g=\frac{2\pi}{\beta}=\frac{2\pi}{k}\frac1{\sqrt{1-({\frac {f_c}{f}})^2}}=\frac{2\pi}{\sqrt{\omega^2\varepsilon\mu-(\frac{\pi}{a})^2}}
v_p=\frac{\omega}{\beta}=\frac v{\sqrt{1-({\frac {f_c}{f}})^2}}=\frac{\omega}{\sqrt{\omega^2\varepsilon\mu-(\frac{\pi}{a})^2}}
Z^{TE}=\eta\frac1{\sqrt{1-({\frac {f_c}{f}})^2}}=\omega\mu\frac1{\sqrt{\omega^2\varepsilon\mu-(\frac{\pi}{a})^2}}
[图片上传失败...(image-ea7f31-1563718443470)]

结语

因为这里写了比较多的波动方程,所以会有点长!

想我尽早更新的方法之一

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