作者：阮行止
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0. intro

很有意思的问题。以往见过许多教材，对动态规划（DP）的引入属于“奉天承运，皇帝诏曰”式：不给出一点引入，见面即拿出一大堆公式吓人；学生则死啃书本，然后突然顿悟。针对入门者的教材不应该是这样的。恰好我给入门者讲过四次DP入门，迭代出了一套比较靠谱的教学方法，所以今天跑过来献丑。

现在，我们试着自己来一步步“重新发明”DP。

1. 从一个生活问题谈起

先来看看生活中经常遇到的事吧——假设您是个土豪，身上带了足够的1、5、10、20、50、100元面值的钞票。现在您的目标是凑出某个金额w，需要用到尽量少的钞票。

依据生活经验，我们显然可以采取这样的策略：能用100的就尽量用100的，否则尽量用50的……依次类推。在这种策略下，666=6×100+1×50+1×10+1×5+1×1，共使用了10张钞票。

这种策略称为“贪心”：假设我们面对的局面是“需要凑出w”，贪心策略会<u>尽快</u>让w变得更小。能让w少100就尽量让它少100，这样我们接下来面对的局面就是凑出w-100。长期的生活经验表明，贪心策略是正确的。

但是，如果我们换一组钞票的面值，贪心策略就也许不成立了。如果一个奇葩国家的钞票面额分别是1、5、11，那么我们在凑出15的时候，贪心策略会出错：
　　15=1×11+4×1 （贪心策略使用了5张钞票）
　　15=3×5 （正确的策略，只用3张钞票）
　　为什么会这样呢？贪心策略错在了哪里？

　　鼠目寸光。
　　刚刚已经说过，贪心策略的纲领是：“尽量使接下来面对的w更小”。这样，贪心策略在w=15的局面时，会优先使用11来把w降到4；但是在这个问题中，凑出4的代价是很高的，必须使用4×1。如果使用了5，w会降为10，虽然没有4那么小，但是凑出10只需要两张5元。
　　在这里我们发现，贪心是一种只考虑眼前情况的策略。

那么，现在我们怎样才能避免鼠目寸光呢？

如果直接暴力枚举凑出w的方案，明显复杂度过高。太多种方法可以凑出w了，枚举它们的时间是不可承受的。我们现在来尝试找一下性质。

重新分析刚刚的例子。w=15时，我们如果取11，接下来就面对w=4的情况；如果取5，则接下来面对w=10的情况。我们发现这些问题都有相同的形式：“给定w，凑出w所用的最少钞票是多少张？”接下来，我们用f(n)来表示“凑出n所需的最少钞票数量”。

那么，如果我们取了11，最后的代价（用掉的钞票总数）是多少呢？
　　明显

，它的意义是：利用11来凑出15，付出的代价等于f(4)加上自己这一张钞票。现在我们暂时不管f(4)怎么求出来。
　　依次类推，马上可以知道：如果我们用5来凑出15，cost就是[图片上传失败...(image-92136e-1553889175909)]

。

那么，现在w=15的时候，我们该取那种钞票呢？当然是各种方案中，cost值最低的那一个！

- 取11：[图片上传失败...(image-449a18-1553889175909)]

- 取5： [图片上传失败...(image-16df1-1553889175909)]

- 取1： [图片上传失败...(image-b7bb09-1553889175909)]

显而易见，cost值最低的是取5的方案。我们通过上面三个式子，做出了正确的决策！

这给了我们一个至关重要的启示—— [图片上传失败...(image-e50dbf-1553889175909)]

只与 [图片上传失败...(image-9bcd8c-1553889175909)]

相关；更确切地说：

[图片上传失败...(image-8c27c8-1553889175909)]

这个式子是非常激动人心的。我们要求出f(n)，只需要求出几个更小的f值；既然如此，我们从小到大把所有的f(i)求出来不就好了？注意一下边界情况即可。代码如下：

<noscript><img src="https://pic2.zhimg.com/50/v2-6a5ba74fb90968533ece429ed329c903_hd.jpg" data-rawwidth="1044" data-rawheight="440" data-size="normal" data-caption="" data-default-watermark-src="https://pic2.zhimg.com/50/v2-af8977bff8d8e7f41d72b2e0416c83d6_hd.jpg" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="1044" data-original="https://pic2.zhimg.com/v2-6a5ba74fb90968533ece429ed329c903_r.jpg"/></noscript>

image

我们以 [图片上传失败...(image-74d57e-1553889175909)]

的复杂度解决了这个问题。现在回过头来，我们看看它的原理：

- [图片上传失败...(image-394a5b-1553889175909)]

只与[图片上传失败...(image-e12d46-1553889175909)]

的值相关。
　　- 我们只关心 [图片上传失败...(image-9bd106-1553889175909)]

的值，不关心是怎么凑出w的。

这两个事实，保证了我们做法的正确性。它比起贪心策略，会分别算出取1、5、11的代价，从而做出一个正确决策，这样就避免掉了“鼠目寸光”！

它与暴力的区别在哪里？我们的暴力枚举了“使用的硬币”，然而这属于冗余信息。我们要的是答案，根本不关心这个答案是怎么凑出来的。譬如，要求出f(15)，只需要知道f(14),f(10),f(4)的值。其他信息并不需要。我们舍弃了冗余信息。我们只记录了对解决问题有帮助的信息——f(n).

我们能这样干，取决于问题的性质：求出f(n)，只需要知道几个更小的f(c)。我们将求解f(c)称作求解f(n)的“子问题”。

　　这就是DP（动态规划，dynamic programming）.

　　将一个问题拆成几个子问题，分别求解这些子问题，即可推断出大问题的解。

思考题：请稍微修改代码，输出我们凑出w的方案。

2. 几个简单的概念

【无后效性】

一旦f(n)确定，“我们如何凑出f(n)”就再也用不着了。

要求出f(15)，只需要知道f(14),f(10),f(4)的值，而f(14),f(10),f(4)是如何算出来的，对之后的问题没有影响。

　　“未来与过去无关”，这就是无后效性。

（严格定义：如果给定某一阶段的状态，则在这一阶段以后过程的发展不受这阶段以前各段状态的影响。）

【最优子结构】

回顾我们对f(n)的定义：我们记“凑出n所需的最少钞票数量”为f(n).

f(n)的定义就已经蕴含了“最优”。利用w=14,10,4的最优解，我们即可算出w=15的最优解。

大问题的最优解可以由小问题的最优解推出，这个性质叫做“最优子结构性质”。

引入这两个概念之后，我们如何判断一个问题能否使用DP解决呢？

　　能将大问题拆成几个小问题，且满足无后效性、最优子结构性质。

3. DP的典型应用：DAG最短路

问题很简单：给定一个城市的地图，所有的道路都是单行道，而且不会构成环。每条道路都有过路费，问您从S点到T点花费的最少费用。

<noscript><img src="https://pic1.zhimg.com/50/v2-38e9a487997d2eea979097fbc9e9e674_hd.jpg" data-rawwidth="523" data-rawheight="251" data-size="normal" data-default-watermark-src="https://pic3.zhimg.com/50/v2-4d9f5b84e0d1f8aafe616a36b869a012_hd.jpg" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="523" data-original="https://pic1.zhimg.com/v2-38e9a487997d2eea979097fbc9e9e674_r.jpg"/></noscript>

image

<figcaption>一张地图。边上的数字表示过路费。</figcaption>

这个问题能用DP解决吗？我们先试着记从S到P的最少费用为f(P).
　　想要到T，要么经过C，要么经过D。从而[图片上传失败...(image-c737c2-1553889175908)]

.

好像看起来可以DP。现在我们检验刚刚那两个性质：
　　- 无后效性：对于点P，一旦f(P)确定，以后就只关心f(P)的值，不关心怎么去的。
　　- 最优子结构：对于P，我们当然只关心到P的最小费用，即f(P)。如果我们从S走到T是 [图片上传失败...(image-971307-1553889175906)]

，那肯定S走到Q的最优路径是 [图片上传失败...(image-6fe1f6-1553889175906)]

。对一条最优的路径而言，从S走到沿途上所有的点（子问题）的最优路径，都是这条大路的一部分。这个问题的最优子结构性质是显然的。

既然这两个性质都满足，那么本题可以DP。式子明显为：

[图片上传失败...(image-1f0de1-1553889175906)]

其中R为有路通到P的所有的点， [图片上传失败...(image-da8176-1553889175906)]

为R到P的过路费。

代码实现也很简单，拓扑排序即可。

4. 对DP原理的一点讨论

【DP的核心思想】

DP为什么会快？
　　无论是DP还是暴力，我们的算法都是在可能解空间内，寻找最优解。

来看钞票问题。暴力做法是枚举所有的可能解，这是最大的可能解空间。
　　DP是枚举有希望成为答案的解。这个空间比暴力的小得多。

也就是说：DP自带剪枝。

DP舍弃了一大堆不可能成为最优解的答案。譬如：
　　15 = 5+5+5 被考虑了。
　　15 = 5+5+1+1+1+1+1 从来没有考虑过，因为这不可能成为最优解。

从而我们可以得到DP的核心思想：尽量缩小可能解空间。

在暴力算法中，可能解空间往往是指数级的大小；如果我们采用DP，那么有可能把解空间的大小降到多项式级。

一般来说，解空间越小，寻找解就越快。这样就完成了优化。

【DP的操作过程】

一言以蔽之：大事化小，小事化了。

将一个大问题转化成几个小问题；
　　求解小问题；
　　推出大问题的解。

【如何设计DP算法】

下面介绍比较通用的设计DP算法的步骤。

首先，把我们面对的局面表示为x。这一步称为设计状态。
　　对于状态x，记我们要求出的答案(e.g. 最小费用)为f(x).我们的目标是求出f(T).
找出f(x)与哪些局面有关（记为p），写出一个式子（称为状态转移方程），通过f(p)来推出f(x).

【DP三连】

设计DP算法，往往可以遵循DP三连：

我是谁？ ——设计状态，表示局面
　　我从哪里来？
　　我要到哪里去？ ——设计转移

设计状态是DP的基础。接下来的设计转移，有两种方式：一种是考虑我从哪里来（本文之前提到的两个例子，都是在考虑“我从哪里来”）；另一种是考虑我到哪里去，这常见于求出f(x)之后，更新能从x走到的一些解。这种DP也是不少的，我们以后会遇到。

总而言之，“我从哪里来”和“我要到哪里去”只需要考虑清楚其中一个，就能设计出状态转移方程，从而写代码求解问题。前者又称pull型的转移，后者又称push型的转移。（这两个词是

@阮止雨

妹妹告诉我的，不知道源出处在哪）

思考题：如何把钞票问题的代码改写成“我到哪里去”的形式？
提示：求出f(x)之后，更新f(x+1),f(x+5),f(x+11).

5. 例题：最长上升子序列

扯了这么多形而上的内容，还是做一道例题吧。

最长上升子序列（LIS）问题：给定长度为n的序列a，从a中抽取出一个子序列，这个子序列需要单调递增。问最长的上升子序列（LIS）的长度。
　　e.g. 1,5,3,4,6,9,7,8的LIS为1,3,4,6,7,8，长度为6。

如何设计状态（我是谁）？

我们记 [图片上传失败...(image-217ef8-1553889175905)]

为以 [图片上传失败...(image-8e356c-1553889175905)]

结尾的LIS长度，那么答案就是 [图片上传失败...(image-2a5b3-1553889175905)]

.

状态x从哪里推过来（我从哪里来）？

考虑比x小的每一个p：如果 [图片上传失败...(image-d1a86c-1553889175905)]

，那么f(x)可以取f(p)+1.
　　解释：我们把 [图片上传失败...(image-a89795-1553889175905)]

接在 [图片上传失败...(image-767dd8-1553889175905)]

的后面，肯定能构造一个以 [图片上传失败...(image-19f5e8-1553889175905)]

结尾的上升子序列，长度比以 [图片上传失败...(image-780571-1553889175905)]

结尾的LIS大1.那么，我们可以写出状态转移方程了：

[图片上传失败...(image-186a20-1553889175905)]

至此解决问题。两层for循环，复杂度 [图片上传失败...(image-82d713-1553889175905)]

.

<noscript><img src="https://pic3.zhimg.com/50/v2-73ea19922aaac11c15dff9146a5c5b41_hd.jpg" data-rawwidth="883" data-rawheight="455" data-size="normal" data-caption="" data-default-watermark-src="https://pic2.zhimg.com/50/v2-ce272e9f786ef6377691df709264711a_hd.jpg" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="883" data-original="https://pic3.zhimg.com/v2-73ea19922aaac11c15dff9146a5c5b41_r.jpg"/></noscript>

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从这三个例题中可以看出，DP是一种思想，一种“大事化小，小事化了”的思想。带着这种思想，DP将会成为我们解决问题的利器。

最后，我们一起念一遍DP三连吧——我是谁？我从哪里来？我要到哪里去？

6. 习题

如果读者有兴趣，可以试着完成下面几个习题：

一、请采取一些优化手段，以 [图片上传失败...(image-80a8e7-1553889175905)]

的复杂度解决LIS问题。

提示：可以参考这篇博客 Junior Dynamic Programming--动态规划初步·各种子序列问题

二、“按顺序递推”和“记忆化搜索”是实现DP的两种方式。请查阅资料，简单描述“记忆化搜索”是什么。并采用记忆化搜索写出钞票问题的代码，然后完成P1541 乌龟棋 - 洛谷 。

三、01背包问题是一种常见的DP模型。请完成P1048 采药 - 洛谷。