等额本金与等额本息

等额本金

每个月都会还款掉固定的本金和剩余本金产生的利息。假设贷款总额度是 Q, 月利率是 $\beta$ , 总还款期数是 k

每月还的本金数为 $\frac{Q}{k}$
第 n 月还的利息数为 $(Q-\frac{Q}{k}(n-1))\beta=\frac{(k-n+1)Q}{k}\beta$ 就是剩余本金 * 月利率
第 n 月还款总额是上面两个的和

还款总额
$Q + \frac{Q\beta}{k}\sum_{n=1}^{k}(k-n+1) = Q + \frac{Q\beta}{k}\frac{(k+1)k}{2}=Q + \frac{Q\beta(k+1)}{2}$

中间有用到一次等差数列求和公式，(首项 k + 尾项 1 ) * 项数 k /2

2024 上半年武汉地区为例，公积金满贷 90 万, 贷满 30 年，每月月供

$\frac{900000}{30*12} + \frac{30*12-n+1}{30*12}*900000*\frac{2.85\%}{12} = 2500 + 5.9375*(361-n)$
最高每月还 4637.356 元
最低每月还 2505.9375 元
总还款 1285818.75 元

等额本息

每月还款额都相同，到期还完。相当于每月出定钱，还掉利息后剩下的还本金，每月还款的计算方法。设每有还款额是 x.
那么第一期后剩余欠款

$Q_1 = Q + Q\beta(利息) - x = Q(1+\beta)-x$
第二期后剩于欠款
$Q_2 = Q_1 + Q_1\beta(利息) -x= Q(1+\beta)^2-(1+\beta)x-x$
多写几个就能发现规律, 每 k 期后剩余欠款是

$\begin{align} Q_k &= Q(1+\beta)^k - (1+\beta)^{k-1}x-(1+\beta)^{k-2}x- ... - x \\ &= Q(1+\beta)^k-x\sum_{n=1}^k(1+\beta)^n\\ &= Q(1+\beta)^k - x\frac{(1+\beta)^k-1}{\beta} \end{align}$
上面又用到了等比数列求和公式 (等比数列求和公式要求公比不等于 1，即 $\beta\neq 0$ )。因为 k 期后我们还完了贷款，所以 $Q_k = 0$
可以算出
$x = \frac{Q\beta(1+\beta)^k}{(1+\beta)^k-1}$

2024 上半年武汉地区为例，公积金满贷 90 万, 贷满 30 年，月利率 $\frac{2.85\%}{12} = 0.2375\%$

$\frac{900000*0.2375\%*(1+0.2375\%)^{360}}{(1+0.2375\%)^{360}-1} = 3722.016$
总还款额 1339925.9257 元

上面的值经过了 4 舍 5 入，银行的舍入算法可能不同。不过对我们了解月供压力没有影响

最后编辑于：2024.08.01 17:59:19

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