堆的定义

    n个元素的序列{k1，k2，…, kn} 当且仅当满足下列关系之一时，称之为堆。
　　情形1：ki <= k2i 且ki <= k2i+1（**最小化堆**或**小顶堆**）
　　情形2：ki>= k2i且ki>= k2i+1（**最****大****化堆**或**大顶堆**）
　　其中i=1,2,…,n/2向下取整;

概念

若将和此序列对应的一维数组（即以一维数组作此序列的存储结构）看成是一个完全二叉树，则堆的含义表明，完全二叉树中所有非终端结点的值均不大于（或不小于）其左、右孩子结点的值。
　　由此，若序列{k1，k2，…,kn}是堆，则堆顶元素（或完全二叉树的根）必为序列中n个元素的最小值（或最大值）。
　　例如，下列两个序列为堆，对应的完全二叉树如图：

图片.png

堆的存储

一般用数组来表示堆，若根结点存在序号0处， i结点的父结点下标就为(i-1)/2。i结点的左右子结点下标分别为2i+1和2i+2。
　　（注：如果根结点是从1开始，则左右孩子结点分别是2i和2i+1。）
　　如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。
　　如最大化堆如下：
　　

左图为其存储结构，右图为其逻辑结构。

堆排序的实现

在输出堆顶元素之后，视为将这个元素排除，然后用表中最后一个元素填补它的位置，自上向下进行调整：首先将堆顶元素和它的左右子树的根结点进行比较，把最小的元素交换到堆顶；然后顺着被破坏的路径一路调整下去，直至叶子结点，就得到新的堆。
我们称这个自堆顶至叶子的调整过程为“筛选”。
从无序序列建立堆的过程就是一个反复“筛选”的过程。

构造初始堆

初始化堆的时候是对所有的非叶子结点进行筛选。
最后一个非终端元素的下标是[n/2]向下取整，所以筛选只需要从第[n/2]向下取整个元素开始，从后往前进行调整。
比如，给定一个数组，首先根据该数组元素构造一个完全二叉树。
然后从最后一个非叶子结点开始，每次都是从父结点、左孩子、右孩子中进行比较交换，交换可能会引起孩子结点不满足堆的性质，所以每次交换之后需要重新对被交换的孩子结点进行调整。

进行堆排序

有了初始堆之后就可以进行排序了。
堆排序是一种选择排序。建立的初始堆为初始的无序区。
排序开始，首先输出堆顶元素（因为它是最值），将堆顶元素和最后一个元素交换，这样，第n个位置（即最后一个位置）作为有序区，前n-1个位置仍是无序区，对无序区进行调整，得到堆之后，再交换堆顶和最后一个元素，这样有序区长度变为2。。。
不断进行此操作，将剩下的元素重新调整为堆，然后输出堆顶元素到有序区。每次交换都导致无序区-1，有序区+1。不断重复此过程直到有序区长度增长为n-1，排序完成。

堆排序实例

首先，建立初始的堆结构如图：
　　

　　然后，交换堆顶的元素和最后一个元素，此时最后一个位置作为有序区（有序区显示为黄色），然后进行其他无序区的堆调整，重新得到大顶堆后，交换堆顶和倒数第二个元素的位置……
　　

最后，有序区扩展完成即排序完成：
　　

由排序过程可见，若想得到升序，则建立大顶堆，若想得到降序，则建立小顶堆。
代码
　　假设排列的元素为整型，且元素的关键字为其本身。
　　因为要进行升序排列，所以用大顶堆。
　　根结点从0开始，所以i结点的左右孩子结点的下标为2i+1和2i+2。

算法描述

//堆赛选函数
//已知H[start-end]中除了start之外均满足堆的定义
//本函数进行调整，使H[start-end]成为一个大顶堆
typedef int ElemType;
void HeapAdjust(ElemType H[], int start, int end) {
    ElemType temp = H[start];
    for (int i = 2 * start + 1; i <= end; i *= 2) {
        //因为根节点的序号为0 而不是1  所以i结点左孩子和右孩子分别为2i+1和2i+2
        if (i < end && H[i] < H[i + 1]) {
            //左右孩子进行比较
            ++i;//i为较大记录的下标
        }
        if (temp > H[i]) {
            //左右孩子中获胜者与父亲的比较
            break;
        }
        //将孩子结点上位，则以孩子结点的位置进行下一轮的赛选
        H[start] = H[i];
        start = i;
    }
    H[start] = temp;//插入最开始不和谐的元素
}

void HeapSort(ElemType A[], int n) {
    //先建立大顶堆
    for (int i = n/2; i >= 0; --i) {
        HeapAdjust(A, i, n);
    }
    //进行排序
    for (int i = n - 1; i > 0; --i) {
        //最后一个元素和第一个元素进行比较
        ElemType temp = A[i];
        A[i] = A[0];
        A[0] = temp;
        //然后将剩下的无序元素继续调整为大顶堆
        HeapAdjust(A, 0, i - 1);
    }
}

int main() {
    int a[] = {9, 1, 2, 5, 7, 4, 8, 6, 3, 5};
    int len = sizeof(a)/sizeof(int);
    HeapSort(a, len);
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        printf("%d\n", a[i]);
    }
    return 0;
}

算法稳定性

不稳定

算法分析

时间复杂度： O(nlogn)