1.The Language Modeling Problem

    现在抛开我们之前讲的马尔科夫模型的假设，对于一门语言的定义，肯定不能简单依赖于每个单词的前两个单词，这是常识。比如英语中的动词形态就和主语有关。那么我会怎么考虑一个语言模型呢，很可能是下面这样一个情况：

  我们之前讲的Trigram模型也可以用这样的形式来表示：

  那么我们要用我们增加的一些定义，一种naive的方法就是选取一些参数来生成模型：

可以想象，这是很难驾驭的。但是我们可以用这样的模型来理论上地表示一些例子。
而下面要讲的Log-Liner Model就可以加入这些信息，并使其可操作。

2.Log-linear models

 #####2.1 Define

  我们首先用对Language Model的描述来引入log-linear model，Log-linear model其实是可以引入到很多问题里面的。
 这里我先作如下定义：

 然后我们定义feature(参数)，一个参数就是一个函数，把x，y映射到一个具体的值

  一般来讲，我们设定一个参数值选择为binary的值，要么为1，要么为0
  然后假设我们有m个不同的参数，对于一组(x,y)，我们就有一个长度为m的参数值向量：

  比如在language model中我们有这样一系列的参数：

在实际中，这些参数的数量是非常多的，为了方便，我们常常用简便的方式来表示一些类似的参数：

     其中N(u,v,w)把每一组u,v,w映射为一个不同的整数，这一组参数的数量就是不同u,v,w的数量，其实这也就是trigram model的定义，只不过我们用另一种方式表达出来而已。
  #####2.2 Result

      这样我们就得到了一组m个参数，同时我们再定义一个长度为m的向量v，然后我们就可以把(x,y)映射为一个“score”(得分)了：

      其实就是数学中的向量的点乘。
   #####2.3 Further Define

    我们接下来再进一步用log-linear model来表示我们的Language model：
    我们有一个X是input空间，Y是一个有限的词语空间，我们使：

     这就是我们的log-linear模型下的语言模型了，注意e的指数其实就是我们上面所说的"score"
     为什么叫log linear 模型呢？我们对两边取log看一下：

     一目了然了是吧
  #####2.4 for other problem

      除了Language Model，log liner的方法还可以用到其他问题上，比如说tagging problem(这个问题的描述在之前的日志有讲：点击打开)
      我们要做的是重新设计feature函数，以及改变一下 history的的定义(也就是上面的x)，上面我们是使x=w1,w2…wi-1
      在tagging problem中我们使：

     这样就是 tagging problem 的log linear模型了，所以说log linear可以应用于比较广的范围。下面我们会详细讲 Tagging Problem中的log-linear model

3.Maximum-Likelihood Estimation for Log-liner Model

#####3.1 introduction

     下面介绍下怎么从训练数据中得到参数，选择的方法叫做ML(最大似然估计)
     我们有的就是一系列的x和y
     首先选择v:

     其中L(v)为：

     它叫做似然函数。
     有了似然函数，我们就可以选择一种叫做Gradient Ascent的方法，也就是求使L函数最大的v
     这个其实就是梯度上升，就是在L上对v求导，得到梯度，然后一步步用梯度趋近最大值(这其实和梯度下降是相似的，具体可以见这里的部分内容)

     然后我们每次迭代使v加上 （β乘以这个导数），β是学习时选择的参数，叫做学习速率。

3.2 Regularization

      如果L只是简单地上面那种形式，算法很可能会过拟合，一些v会变成非常大来更好地增大似然函数，但这种增大是畸形的，叫做overfitting
      解决的方法很多，最简单的一种就是加入regularization的部分，也就是：

      这样的话如果v过大就会招致penalty
      那么：

########下面的课程相对细讲了log linear model对于Tagging和Parse问题的方案，我选简单的写一个=========
########其实模型都是相似的===============================================================

4、Log-Linear Models for History-based Parsing

#####4.1回顾下Log-Linear Taggers

      好吧，这段我懒了，没有写log linera tagger的内容，所以在这补充总结一下，其实也不是很复杂

      大概就是这样的一个模型，可以看出其实就是2.4的内容。
#####4.2 History-Based Models

     有了tag以后，我们可能还会有需求去求的一个parse，也就是语法树，一步步来。
     假设我们能够将一颗树表示为一系列的decisions，假设为m个，我们有：

     注意这里的m不一定是句子的长度，我们可以做很多decision来表示句子树的结构
    然后我们定义：

表示这个句子
那么对于一棵树的probability就是：

    Over------就这么简单，关键是我们要怎么来设计我们的decision
    注意和4.1对比一下，我们如果把decision换成tag的内容，就变成了Tagger的问题
#####4.3Ratnaparkhi's Parser:

   再继续我们的内容之前，先放一个例子在这，好继续描述：

 下面主要讲的是一个叫做Ratnaparkhi的人的model，好吧，又是一个90后的model……
 他的模型主要分三层：

1. Part-of-speech tags

                    这部分就是简单的tag的model，每个decision就是一个tag的选择

2. Chunks

                 Chunks其实就是短语部分的模型：

                  也就是上面那一排tag，其正式点的定义就是：所有儿子都是 Part-of-speech tags的节点
                  如何表示它的decision呢？我们用SART和JOIN来表示

                  一目了然？再加上第一层的模型，现在我们的decision已经有2*n个了：

3. Remaining structure

                  Remaining structure，我们看一下这颗tree还有什么remaining了呢？更高层的树的结构
                  我们将用Check来在第二层的基础上来表示这棵树：Check=NO 或者 YES
                  首先我们跑一次第二层，Check一直设置为NO，不增加什么操作，直到：

                    我们设置Check=YES，那么发生奇迹的时刻到了，看到没，一组Start和Join消失了，取而代之的是一个Chunk:PP

                    我们再继续，CHECK继续为NO：

                看到没，在选择Check为YES的时候就把上一个start的部分合并成一个符号！！！
               这样继续到最后，我们就得到了最终的decision：

#####4.4 Applying a Log-Linear Model

            其实比较简单，就是di作为输入，而<d1…di-1,S>作为history

            其中A表示所有可能的action(decision)
            那么现在还有一个最大的问题，怎么设计我们的 f ？！！
           Ratnaparkhi的模型中主要还是关联了decision的部分，我们同样可以对decision进行trigram或者bigram模型的设计，这是和以前的定义一样的，然后将各部分混杂起来就会得到很多的f了。
#####4.5 Search Problem

        在POS tagging问题中我们能够使用Viterbi algorithm的原因是我们有如下假设：

        但是现在的decision可能依靠之前的任意一个decision，动态规划是没辙了。。。。
        这一部分会在下一周的课程讲到。^_^