——“双生悖论”随笔之十

"时空居然是可以弯曲的，这无异是一个古怪的概念。"

若一对孪生兄弟，乘同一艘飞船到宇宙中去旅行。旅行中，兄滞留在黑洞附近一个安全的区域里观光，弟先直接飞返地球。不久，兄又乘同样的飞船返回地球。兄弟俩见面，哥哥比弟弟年轻了。

这是“双生悖论”的一个升级版。

为什么会出现这个升级版。这是因为广义相对论说，在宇宙间物质密集的地方，空间曲率大，时间流逝得慢，时空发生了弯曲，而黑洞是物质极度密集的地方。哥哥滞留在那里，生命的流程变慢了，回到地球上，所以比弟年轻了。

一、人们通常理解的时空

为了便于对以下问题的分析，先来说一说在我们经验里感知到的时空。可以说，地球上的每一个人，无一例外，是在空间里生活，是在时间中活动。没有空间，万物只能是影子，因为影子没有空间的广延；没有时间，万物只能是雕塑，因为雕塑没有时间中的活动。

时空，通常的理解是时间和空间的简称。对于时间和空间，大多数人们都是以直觉和经验来理解的，而且以这样的理解来指导我们的日常行为几乎没有出现什么偏差。

下面是人们对于时空的通常理解。

什么是时间？就是永远地均匀流逝着、与任何外在事物无关的那个东西。

人类想出了许多办法，寻找时间流逝留下的印记；人类也用许多方法，记录出现的人和事的顺序、某些过程的久暂，保留时间留下的踪迹。

人们是从昼夜的交替、四季的变化、日月的运行来感知时间的存在的。时间就是这么一分、一秒、一天、一年、一个世纪、一万年、一亿年流逝着，与这个世界上发生了什么事情，与什么人在做什么事情，与什么人在不在这个世界上，都没有关系。

什么是空间？就是什么东西都没有的一个区域。

空者，中无所有，空空如也；间者，是指一个中心区域。两个字组成的词汇，其意思就是这个区域中是“空”的，可以放置任何物体，这些物体还可以在其中任意运动而不会受到阻碍。

若在此间放入了一个物体，这个物体就占有了一部分空间，或者说这个占有的区域就是属于这个物体的空间，其他的物体就不能再占有了。人们可以用一把刚性的尺子来量度这个空间区域，说出该物占有空间的大小。

这就是人们在日常生活中的时空观，这是牛顿理论的时空观，也是爱因斯坦理论出现之前的物理学的时空观。

时空是分离的，二者都是绝对的东西，并且构成了一个无形、无边的永恒的舞台，世间的任一物都是在这个舞台上出现或消失；世间的任一物也占有着属于自己的时空，在其中表演属于自己的“有头有尾”的节目。

 二、一个时空弯曲的区域

如果有人说空间是可以弯曲的，这很难理解，一个什么都没有的空空的区域怎么能是弯曲的呢？又说，时间还能弯曲，这就更让人糊涂了。

然而，爱因斯坦说时空就是弯曲的，而且还能告诉你时空的弯曲究竟是怎么一回事。

1912年，爱因斯坦考虑了一个特殊的加速系统——一个高速旋转的刚性转盘，就是前面介绍过的E城的那个舞台。这个舞台与一个静止的舞台半径与周长都是一样的，不过这个舞台是以难以想象的高速在匀匀地旋转着。一只钟在这个舞台上会走慢，一把尺子沿横向（垂直于径向，亦称切向）搁置会缩短。

现在，让我们再回到那个旋转的舞台上，来了解时空的弯曲。

假设舞台上有两位观测者，他们在舞台的某处，会具有此处相同的极高速度，但因为穿上魔鞋，可以在舞台上自如地行走，就像在一个静止的舞台那样，进行各种活动。

先来考察他们对对舞台边缘上相距较大的两点A和B之间的距离测量。

如果舞台不旋转，这个测量很简单，就是A到B连接的直线，测量这条直线的长度就可以了，或者在A、B之间拉根绳子，测量相应的绳长就可以了。然而，这里情况变了，由于舞台在匀匀地高速旋转，根据狭义相对论给出的结果，时空会发生变化。

要测量A和B之间的距离，就是要测量A与B之间的“最短”的那条线的长度，可称之为“短程线”。为了得到A、B之间这个“短程线”的准确值，“最短”就是测量者在测量过程中必须遵从的原则。

为了测量精确，测量者带了一大盒短短的量尺。他们只要把些量尺在A、B之间头尾相接摆出一条“最短”的线，测得其线长，就达到了测量的目标，完成测量任务。

大家知道，在舞台上的任一点会有一个切向速度ωr（ω是舞台旋转的角速度，r是此点到舞台中心的距离），根据狭义相对论，运动的尺子会沿其运动方向收缩，如果量尺沿切向（横向）摆放，长度就会收缩，而且越靠近舞台边缘摆放，由于边缘线速度大，收缩就会越加厉害，站在这里的测量者，也会有横向的收缩，变得窄了。在E城的活动中，舞台中心的观测者已观测到了这一点。

由于量尺会沿舞台的切向收缩，如何测得A、B之间和最短线，就得考虑如何来摆放这些量尺。这些量尺应当是短短的，测量才能相对准确，这是因为如果量尺很短，在舞台上横向放置时，可以近似地当作是均匀收缩的。

通常情况下， A、B之间的直线就是最短的距离，但这里量尺会沿横向收缩，而且越靠近舞台的边缘，收缩得越加厉害，在此情况下，如何才能量得A、B之间的“最短”距离呢？

这就要求在A、B之间首尾相接摆放的量尺根数要尽量少，即使每一根量尺在测量中占有的空间长度要尽量大，这样量到的长度显然就是最短距离。

因为A、B两端是固定的，若量尺从A出发，向靠近舞台中心方向头尾相连摆放一条弧线，到B处结束，量尺的收缩量就会小一些，每根占有的长度也会大一点，量尺也就用得少一些，是可以量得最短距离正确摆法（沿A、B直线或沿A、B向外凸的弧线，由于缩短的量大，都是不行的）。然而，A、B两端是固定的，若把量尺摆得过于靠近中心方向，虽然收缩的量小了一些，但增大了AB间弧线长度，也会增加量尺的根数，同样也测不到“最短”距离，达不到测量目的。因此，这里要选一条合适弧线——沿着一条向舞台中心凹陷，但又不是凹陷得太厉害的弧线摆放量尺，才是一条“最短”的弧线，才能达到测量的目标要求。

从上面对测量过程的分析，就可以看到这里的空间出现了异常，有以下几点。

第一，A、B之间最短的距离，不是一条直线，是一条向中心凹陷的弧线，这就是A、B之间的“短程线”，可以看作这个空间里的“直线”，这条“直线”的长度，就是要测量的A、B之间的距离。

第二，如果再在舞台边缘找一点C，与A、B相连，构成一等腰三角形（CA= CB），显然，这个三角形的中心也是舞台的中心O。由上面的分析可知，这里的每条边也都会向中心凹陷，任一顶点的相连的三角形的两条边将构成一个“人”字型，则此三角形的内角之和，显然小于180度。

第三，前面已说到，这个旋转舞台与一个静止的舞台的大小是一样的，半径都是R，静舞台的周长L与半径R的关系是L=2πR，这是大家都熟知的结果。然而，比较旋转舞台上的测量的结果就不一样了。

测量者沿舞台的径向测量半径，按狭义相对论这个方向没有速度，因此半径不变，与静止舞台一样均是R。但沿边缘切向摆放量尺，测量舞台的周长，由于量尺的收缩（在边缘收缩量最大），测得的舞台周长一定是变长了，旋转舞台的周长与半径关系将是L>2πR。

欧几里得的几何法则在这里失效了：两点之间的最短距离不是直线；三角形的内角和小于180度；周长与半径的关系是L>2πR。这就表明这里的空间不是平直的欧几里得空间，这里的“直线”（最短距离）是弯的，空间发生了弯曲，正是空间的弯曲，寻常的空间几何关系不能成立。这有点像游乐园里哈哈镜，人站在哈哈镜前，人体的线条被凹、凸的镜面扭曲了。

对以上旋转舞台的分析，有两点往往让人想不通，而出现混乱，下面作一说明。

第一，旋转舞台本身沿切向也要收缩，舞台的边缘在收缩，测量者怎么会得到L>2πR的结论呢？

这里要注意的是，这里一开始就认为舞台是匀速、高速转动着，没有涉及它静止时的情形，而且指出它在转动时与一个静舞台的大小是一样的。从舞台中心或舞台外一个的观测者来看，虽然舞台在转动，它的周长与静舞台周长一样，而看到舞台上的测量者的量尺，与舞台一起旋转，沿横向是缩短了，因此，无论是舞台中或舞台外的观测者“看到的”，或者是舞台内的观测者“测到的”，其结果都一样，一定是L>2πR。

第二，在舞台上的测量者与舞台是一起转动的，在测量的过程中量尺与测量的对象没有相对运动，按照狭义相对论，相对于观测者运动的物体，该物在运动方向才发生洛伦兹收缩。这里没有相对运动，怎么会有量尺的收缩呢？

事实上，在舞台边缘的测量者并不会感到他手里的尺子的收缩，因为量尺相对于他并没的运动。但舞台中心或舞台外的观察者都会看到量尺与测量者都会在切向发生了洛伦兹收缩（就像在E城一区看到骑自行车的人那样，是个扁形人，相对于舞台外的观察者有很高的速度）而这个旋转的舞台与一个静止的舞台大小一样，用收缩的量尺去量度这个舞台，一定会测量到L>2πR的结果。

据说，关于这个问题历史上有许多讨论，有诸多方面至今仍未能达成一致意见，这里提供的分析，有些是个人的看法，仅供参考。

好了，空间的弯曲就说这些，下面来说时间的“弯曲”。

爱因斯坦认为，这种加速运动不仅是导致了空间的弯曲，而且还导致了时间的“弯曲”。

在E城的活动中，我们已经看到，在这个旋转舞台上的钟，在舞台中心的那一只走得最快，而在舞台上其他位置的钟都将会走慢，在舞台边缘的钟将走得最慢。这里对时间的测量给出的一般结论是：走时的快慢依赖于钟在舞台上的位置，离舞台中心越远处的钟，其走时越慢。这种不同的位置以不同的速率走时的钟，类比于空间随距舞台中心的距离的增大而收缩的情形，我们就说这里的时间也是“弯曲”的。

这样，我们就能较为形象地看到了时空的弯曲大致是怎么回事了。

记得2011年11月11日，我在纽约参观了《纽约现代艺术馆》，下午2点多我看到了西班牙画家达利（1904——1989）的名画《记忆的永恒》。

这幅画画面展现的是一片空旷的海滩，海滩上躺着一只似马非马的怪物，它的前部像是一个只有眼睫毛、鼻子和舌头荒诞组合在一起的人头残部；主要的是在这画面中有好几只表都变成了柔软的、有延伸的东西，像小时候家乡看到的糖稀那样，软塌塌的。这几只表或挂在树枝上，或搭在平台上，或披在怪物背上。这里表现的是一种由弗洛伊德所揭示的个人的梦境和幻觉，画面仿佛是记录了某个梦中的意识，把梦境中的幻觉画了出来，让观赏者看到了现实世界里根本看不到的离奇的景象。

然而，从物理学的角度来看，这也可以认为是一种时空弯曲的抽象艺术的表现。这里空间是弯曲的，正因为空间卷曲形成的畸形，在视觉上出现了五官错位的怪物，用金属或玻璃制成的表盘、表壳在这个空间里，也都是扭曲的；时间也是“弯曲”的，表的指针似乎也显得疲惫不堪、松松垮垮，走得很慢很慢。 

三、旋转舞台的启示  

引力与一个惯性力等效，引力场与一个惯性力场（加速场）等效，这使得爱因斯坦感到非常欣慰，称这是一个“最幸福的想法”。因为引力实在是太神秘了，茫茫宇宙间，到处都有它的存在，无边无际，令人难以捉摸，而一个加速场，是一个加速系统，就是一个非惯性系，几乎所有的交通工具都可以随时制造出来，是一个处处可见的普遍现象。这二者居然能联系起来，使爱因斯坦找到了一个重要的理论支点，其内心之喜悦可想而知。

严格地讲，引力场与加速系统的等效，正如上一篇文章所指出的那样，只是在空间的某个点上，但是，这种等效而出现的不可分辨性，就让爱因斯坦看到了多个微妙的而有非常重要的东西，大致可以归纳为四点。

首先，引力场的时空是弯曲的。

由狭义相对论对旋转舞台的时空进行分析，就会自然得到一个重要的结论：旋转舞台是一个非惯性系，可以等效于一个引力场，舞台中的时空发生了弯曲，则引力场中的时空应当也是弯曲的。

其次，引力大的地方，时空的曲率大。

在这个旋转的舞台上，随着离舞台中心距离的增大，惯性力也在逐渐地增大，舞台边缘惯性力最大，钟走得最慢，尺子缩得最短，这就是说，惯性力大的地方时空弯曲得厉害。

由于惯性力与引力等效，那么，在引力场中，引力大的地方，时空弯曲就相对厉害些，空间曲率大，时间流逝慢；引力小的地方，时空弯曲不大，空间曲率小，时间流逝不会太慢。

再其次，质量的大小与分布决定了时空的曲率。

根据牛顿的引力定律，引力的大小决定于质量的大小与分布，这就是说，质量大的物质附近，或者质量密度大的物质附近，就是引力强度（单位质量的物体在这里受到的引力大小）大的地方，而这里时空弯曲也就厉害。太阳附近空间的弯曲比之于地球附近要厉害，在中子星或黑洞物质密度极高的地方，时空弯曲就更加厉害，空间的曲率半径极小，时间流逝极其缓慢。

第四，时空弯曲决定了物体的运动。

由以上的启示，爱因斯坦提出了一个大胆的假设，天体的运动是由于时空的弯曲。

任何一物的运动要在一个空间里才能实现，若空间是弯曲的，物体在这样的空间里运动，也只能走“弯路”。如此看来，对于天体运动状态的改变的原因，完全可以“删除”引力的作用，而是时空弯曲的结果。

1912年，爱因斯坦提出了这样一个特殊的加速运动（旋转舞台）的空间，利用了狭义相对论的结果，把引力与惯性力等效起来，把引力场与时空变化等效起来，看到了涵盖广义相对论的主要思想，为广义相对论的建立打下了基础。

当然，上述的看法是否正确，还得用实验来证实，实验的结果表明：假如我们这个宇宙真是上帝创造的，那么上帝创造的这个宇宙，总是在支持着爱因斯坦的看法！

四、引力场中时空确实是弯曲的 

惯性力场与引力场的不可分辨，就断定引力场中时空发生了弯曲，这个推断涉及到引力场存在的全部空间，也许是涉及物质世界里区域最大的一件事情，这个推断是否可靠，总让人既不放心又充满期待，应当去寻找实验的支持。

很容易设计一个理想实验，分析出在一个加速系统中光线的轨迹是弯曲的。

设想在一个远离星体的外层空间里做这样一个理想实验：观察一束光通过一架升降机的运动径迹。先在这个升降机的左壁开一小孔A，让一束光水平地射进来，如果升降机是静止不动的，此束光一定水平地射到升降机的右壁上B处，A、B是在同一条水平线上。

如果升降机向上作加速运动，当一束光水平地从A射进来时，因为光速不是无限大，而升降机是在加速上升过程中，那么当这束光从左壁到达右壁的过程中，升降机一定会上升一段距离，在升降机里的观察者一定会看到，从A孔射进来光束将打在低于B的下方的C处，这位观测者将看到这束光线在升降机里走的是向下偏离的“弯路”。

如果惯性力场与引力场等效，且不可分辨，那就可以断定光线会在引力场中发生弯曲，那么，在真实的世界里能不能观察到这种现象呢？

地球的引力太小，不易观察到这种光线偏转。

1915年11月，爱因斯坦计算了遥远的星光如果掠过太阳表面，将会发生1.75弧秒（1弧秒等于1/3600度）偏转。这个小小的角度相当于在3千米外看一枚硬币张开的角度一样。不过当时的技术已能够测量这么小的角度。爱因斯坦相信，光线绕过太阳附近不是引力在向里“拉”，而是太阳塑成了周围时空凸起“跑道”，光线只能沿着这条“跑道”向前“跑”。

应当说，爱因斯坦预言的验证还是有一定的困难的：白天太阳太亮，观察不到从太阳旁边掠过的星光；晚上太阳下山了，看不到太阳也就失去了观察的前提条件。但机会来了，1919年5月29日，地球上可以观察到一次日全蚀。强烈的阳光被月影挡住，应当可以观测到经过太阳附近光线的偏转。

为此，英国人派出了两支观测队伍事先去到选好的观测点，准备好验证爱因斯坦的预言。一支由英国天文学家爱丁顿率领，到非洲西部的普林西比岛；一支由另一位天文学家克劳梅林率领到南美的索布雷尔。

两支队伍不久就带回来拍摄的照片，经5个月的反复的核对和比较后，1919年11月6日，英国皇家学会和皇家天文学会联合举行会议宣布：星光在太阳附近会平均发生1.79弧秒的偏转，与爱因斯坦的预言相符。消息传开后，全世界都为之轰动，爱因斯坦也成为了举世闻名的人物。

当时的英国皇家学会会长汤姆逊说：“爱因斯坦的相对论是人类思想史中最伟大的成就之一，也许就是最伟大的成就，它不是发现了一个孤岛，而是发现了新的科学思想的新大陆。”

在这次测量前，有人问爱因斯坦，如果这次观测与你的理论不相符，你会有什么感觉。爱因斯坦答道：“那么，我将为亲爱的上帝感到遗憾，因为这个理论是正确的。”

关于光线经过太阳附近发生了弯曲，有一个问题还需要补充说明。

光线弯曲真的就是空间的弯曲吗？还是光线在普通三维平直的空间中里走弯了呢？1972年的一次实验排除了后面这种可能性。

这个实验是这样的，一个绕火星飞行的太空飞行器能定时反射回从地球发出的雷达信号。在一年中，当地球到火星的视线经过太阳附近时，我们可以测量雷达波束的传送时间，测量这个时间就可以判断弯曲的光束是穿过了一个平直的空间，还是穿过了一个弯曲的空间。

判断的方法是这样的。

把观察到的弯曲路径按比例缩小后画在一张纸上，测量其曲线比直线长出了多少，再计算出由于长出的路径光线多走了多少时间，然后与实际的测量时间进行对比就可以了。按此方法，测量的曲线比直线约长出10 米，光信号延迟的时间约30纳秒，即光走10米所用的时间。这就是说，如果光信号是在平直的空间里行走，走这条曲线只比平直的空间多走了10米，时间多用了30×10-9秒。

然而，人们是不能用一张在平面的图纸上按比例画出的图，就能量出光在弯曲空间里行走的距离的。就像我们不能从平面地图上就能测量到从北京到广州的铁路线的实际长度一样。北京到广州之间的铁路线的实测长度，会比平面图上测得的长得多。

爱因斯坦的理论预言，由于空间的弯曲，会有约200微秒（200×10-6秒）的时间延迟，比平直空间的情况的延迟大出约7000倍。实验证实了爱因斯坦的理论的预言，说明这个理论是正确的。

从上面的例子可以看出，引力场的空间确实是弯曲的。

下面我们再来看时间的“弯曲”。

假如，有一艘飞船在向前加速飞行，其加速度为a，有A、B两只结构一样的钟，A钟放置在船的前端，B钟放置在船的尾端。A、B之间的距离是L。A钟每间隔一秒钟就发射一个闪光（相当于钟上指针的“脚步”），如果你在B处，就可以接收到这个闪光信号，看到A钟行走“脚步”的频度，从而判断A钟走时的快慢。

如果飞船没有加速行驶，或静止，或做匀速直线运动，按照相对性原理，这两只钟的走时是一致的，你在B处看到的闪光与你身边钟的走时速率是一致的。

如果飞船以加速度a向前运动，则B通过L的距离的时间会越来越少，B接收到的A闪光的间隔的时间也会越来越短，A钟“脚步”就变得急促了，在B处的你一定会认为A钟走得比B钟快，或者说B钟走得比A钟慢了。

这是一个自然而合理的推论。

按照加速场（惯性力场）与引力场的不可分辨性，如果这个推论是正确的，那么在地球重力场中，放在塔底的一只钟（相当于B钟）要比放在塔顶的一只钟（相当于A钟）走得慢。这就是说，在引力场中的一只钟会随着高度的变化，走时的快慢也随之发生变化：在高处走得快一些；在低处走得慢一些。地球表面的钟（无论是物理钟，还是生物钟）比月球表面的钟要走得慢一些。一个人在不考虑其他各种因素的情况下，在地球上生活的寿命要比月球上长一些，约相差10-9，假如一个人在月球上活100岁，到了地球上能多活3秒钟。

在地球表面上，20米高度差引起的频率差异大约只有2×10-15这么一丁点儿，如果一座塔高就是20米，那么，在塔顶的钟走时1秒，约比在塔底的1秒，快了千万亿分之一秒。这一事实已经利用穆斯堡尔效应从实验上探测到，得到证实。

在我写的《时间随笔之二》中还有这样的一段话：“按照这样的理论，一个人站在地面，由于头与脚的引力差异，脚部的钟要比头部的钟走得慢些：每天，脑要比脚早衰千亿分之一秒；当这个人80岁时，他的头颅骨将比脚趾骨要早衰300纳秒，这当然是极短的一瞬间。”这是怎么也不会被人们察觉到的一件有趣的事情。

    同样，若在一个房间的地板上向天花板发射一个光子，这个光子从地板跑到天花板，克服重力做功，就会丢失一部分能量。这样光子的波长就变长了，这就是所谓的“引力红移”。若地板上有一只精密光钟向天花板发射单色激光，到达天花板时，波长变长，频率变低，那里的观察者就认为地板上的光钟走慢了——较低位置的钟走得慢。相反，如果天花板向地板发射光子，光的波长会发生兰移，波长变短，频率变高，地板上的观察者会觉得天花板的钟走快了——较高位置的钟走得快。

穆斯堡尔效应等实验检验了引力红移现象，与理论均相符合。其结论是：引力势较高的地方（引力较弱的地方，势能大的位置）时间流逝得快一些。

我们再来说说双生子的问题，设想有A、B一对孪生兄弟，飘浮在太阳系的边缘，他们的太空服上各自还载着一个结构一样的大大的数字钟。在他们乘坐的飞船上放下一根伸向太阳的长长的绳子，A沿着绳子慢慢地接近太阳，而B仍然留在飞船上，则A身上的钟比较B身上的钟将会越走越慢，因为他经历的引力场越来越强。正是从这个意义上说，引力像扭曲空间那样也扭曲了时间。同样A的生命过程也会变得缓慢。如果过了一段时间后，A再回到飞船上与B见面，他的确会比弟弟年年轻些。

在一颗普通恒星（如太阳）表面引力场对时间的影响是很小的。但是，A如果顺着一根绳子，爬到的中子星的表面，他的钟的节律只有B处钟节律的76%，中子星的质量虽然和太阳差不多，但密度却是太阳的千万亿倍，因此它的引力场比太阳的引力场强得多。引力场越强处时间的“弯曲”越严重。如果A能在那里呆上3年，则B将在飞船上约过了4年，他俩再见面，A比B年轻了约一岁。

在接近于中子星和黑洞表面的强引力场中，时钟的延迟会变得显著起来，用一台原子钟中可以测量到这一效应，在不同的高度，原子钟所记录的时间明显不同，实验的结果是与爱因斯坦理论预言相一致。

现在到处都在使用全球的定位系统（GPS），引力对于时钟的效应在GPS中是必须加以考虑的。虽然在地球上的时钟和在同步卫星的高度上的时钟，由于引力红移，时率只差100亿分之几（地球表面的那只钟会走得慢些）。若要定位准确，这些卫星的位置精度必须达到几米，信号往返的时间必须精确到几个纳秒，就必须作广义相对论的校正。

由此看来，爱因斯坦由引力场与加速系统的等效，从非惯性系中的时空弯曲，得到引力场中的时空弯曲，这个大胆的假设获得了大量实验的验证。

 五、 如何理解四维时空的弯曲

 上面对旋转舞台的讨论，我们大致接触到了时空弯曲是什么意思。事实上四维时空的弯曲，这是一个很难理解的古怪概念。

为了能接近对这个概念的理解，我们要先说一下空间的弯曲是什么意思。

我眼前有一本翻开的书，正在看的那一页是一个向上凸起的弯曲的平面。这是在三维空间中我看到的一个二维空间的弯曲。

设想一只扁平的二维甲虫，在这一页的书面上爬行，它是不会看到这一页书是如何弯曲的，因为它不能离开这个页面，站到书页上面或钻到书页的下面的第三维上，因此就不能看到这个页面是怎样弯曲的。但是，如果这个甲虫是高智商，懂得几何学，会测量，如果它测得自己爬行的小空间里一个三角形的内角的和大于180度，就可以推测这里是一个有凸起的曲面，尽管如此，它还是不能看清自己生活的二维页面整体上是如何弯曲的。

虽然人类是宇宙间的高智商生物，许多人懂得几何学，但是，在广义相对论出现以前，人类并不知道自己生活的空间是弯曲的，是爱因斯坦首先指出了这一点。

据说在1919年，爱因斯坦9岁的儿子爱德华问他：“爸爸，你到底为什么这么出名？”爱因斯坦笑了起来，对儿子解释说“你看见没有，当一只甲虫沿着球面爬行时，他没有发现它爬过的路径是弯的，而我有幸发现了这一点。”

我们生活的空间只有长、宽、高三个维度（即三个独立的方向），没有第四个维度让我们能看到三维空间的弯曲，我们也没有一条途径能进入到第四维的空间中，因此我们也就不能看到我们生活在其中的三维空间是如何弯曲的。这决不是我们简单地想象的那样：把案板上的一团面放在两只手的中间，任意扭一下，就是三维空间的弯曲了，事实上你看到的只能是三维空间中，这团面的二维表面的弯曲。

同样的道理，我们通过对经过太阳附近光线的测量，对于雷达波信号的测量，证实了我们生活的空间确实是弯曲的。但这个三维的空间弯曲究竟是个什么样子，并不十分清楚，当然也包括爱因斯坦本人。

    这里通常会出现一个错误的理解，认为三维空间的弯曲一定伴随着有一个四维空间，它的弯曲是发生在四维空间中，弯曲是弯进了这个第四维中去了，或者说没有这个维度就不能发生弯曲。这种看法是不对的。三维空间的弯曲是它自身的弯曲，与存在不存在第四维并不相关，这就像上面说到的那一页书，纸面发生了弯曲，它的二维平面就是这样的一个曲面，就弯成这个样子，与是不是存在三维空间并不相关。

    至于再由弯曲的时间构成四维的时空，那就更难想象了，这就像霍金所说的那样：“形象地想象三维空间已经够难的了”，更不用说四维，因此，爱因斯坦的广义相对论只是在数学上为我们描述了一个想象中的四维时空，很难说出它究竟是个什么样子。

然而，广义相对论给出了时空弯曲的这样一种规则：空间的任何弯曲也一定使那儿时间发生“弯曲”，尺子在更强的引力场中会缩得更短，钟在更强的引力场中会走得更慢，这里发生的“时”与“空”的弯曲是同步的，协调的，这就构成了四维时空的弯曲。质量巨大的物质对象，在它的周围空间中有强大的引力场，在这里时间走得更慢，空间收缩得更厉害。这里的时空就显得更致密。

六、时间、空间和引力

 近代科学对于时间、空间和引力的的看法就是两种：牛顿的和爱因斯坦的。

牛顿的时空观是秉承了古代人们的看法。

空间就是“空空如也”的地方。这里既然是“空”的，什么都没有，当然也就没有什么可供研究的对象，也就没有什么性质可言。然而，在这个空间里的有形物体会呈现了诸如点、线、面、圆、柱、球、三角形等图形，人们对其进行测量和思考，逐步有了这些图形的几何关系，并建立了严密而可靠的理论。

建立这些理论的唯一方法是让人们对外部世界的观察与内心世界的思考之间不断发生作用，以达到内、外的统一，这是科学的灵魂。观察中特别是可以称之为定量观察的“测量”；思考中特别是可以称之为推理思维的“逻辑”。这是科学之所以能前进的两条腿。

人类对于外部空间图形的思考，可以追溯到古代的巴比伦人和希腊人。前者提供了测量法，后者贡献了逻辑学。巴比伦人早于希腊人一千多年就知道了直角三角形的两个直角边的平方等于斜边的平方，后来希腊人给予了证明并指出对于所有的直角三角形都将成立。

毕达哥拉斯（公元前500年，与孔子同时代）、欧几里得（公元前300年，与庄子同时代）通过对某些物体图形的测量和研究，抽象了诸如点、线、面、三角形、圆、球等几何图形，进行认真的研究，后由欧几里得归纳成几何学，成为人类文化中必修的经典。

这些聪明的古人在空间中画上两个点，定义两点之间的距离，就是连接这两个点之间直线的长度；在空中找三个点连成一个三角形，其内角之和是1800；在空中画一个圆，它周长与半径的关系是L=2πR；……人们把这些图形的性质就当作了空间所具有的性质。从此，原本是“空空如也”的空间，就有了性质，并说这个空间是平直的，是欧几里得的。   

至于空间的平直和弯曲，还可以作一个更严格的说明。

在二维平面（如黑板）上，我们可以画出一组间隔不变的平行直线，再画出一组与前一组一样的平行直线，让两组直线相互垂直。如果这些直线无论延长多远，也永不相交，我们就说这个二维的空间是“平直的”，在一个球面上就不能做到这一点，这就说这个空间不是平直的，或称作是“弯曲的”。

同样，在三维空间中，如果能画出三组直线，每一组都垂直于其他两组，而且，这些直线无论延长多远，都是平行的，永不相交。这就是一个平直的三维空间，如若相交，那这个三维空间就是弯曲的。平直与弯曲空间的概念可以像这样推广到任意多个维度，而且，不但适用于空间，也适用于时空。

牛顿理论中的空间就是欧几里得的。牛顿理论中的的引力与空间无关，是附加在空间里的一种力。在这个空间中，一个物体若没有受到力的作用，要么静止，要么做匀速直线运动。然而，在这个空间里，万物之间都会有一种相互吸引的力。当一个物体受到其他物体的吸引时，该物将以正比于此力的加速度回应引力的作用。地球表面上的物体之间由于引力微小，不容易看到这种回应，而天体就是在这种引力作用下，使其运动状态总是在不断地改变着，总是在做加速运动。

牛顿引力理论使我们对于自身生存环境的认识有了重大的突破。

引力让我们周围的事物能安稳地“待”在地球的表面；引力使我们的生命须臾不能离开的空气不会逃逸到外层空间中去；引力让地球围绕着太阳稳定地转动，从太阳那里获得了能量，从而出现了生命，出现了人类；引力维系了天宇间亿万个星体永不停歇的舞蹈，像是天地间一只看不见的巨手，掌控着整个宇宙的运转。

牛顿的引力理论自17世纪以来到20世纪初，科学界的看法是统一的、确定的，这个理论大大地拓展了人类的眼界，而且还能高度精确地预言天体在引力作用下如何运动。牛顿的引力理论，无疑是人类的科学史上一个伟大的发现。然而，令人遗憾的是这个理论始终不能说明引力究竟是什么。

彼此分开的两个物体，凭什么会相互吸引呢？牛顿没有能回答这个问题，也成了这个引力理论的缺陷。牛顿说：“引力必然有一个以一定的规律持续作用的动因，不论这个动因是物质的还是非物质的，我都留给我的读者去考虑。”200多年里，还没有一个牛顿的读者能回答这个问题。

引力的本质是什么？

引力是由物质的总量和物质的分布决定的，而爱因斯坦认为，正是物质的总量和分布决定了空间的弯曲，如此说来，与其说是引力使天体沿曲线运动，还不如说是空间的弯曲决定了天体的运动轨迹。

宇宙间质量的分布形式，决定了它的时空的卷曲、褶皱和起伏，生动地表现着我们之前一直以为的引力。引力只不过是时空弯曲的一种物理表现；引力场是被物质弄弯了的时空的几何效应。这就是爱因斯坦对引力本质提出的答案，也是作为牛顿的一个最智慧的读者给予牛顿提问的一个回答：质量不是形成了引力，而是编织了时空，时空是质量的“织物”。

有的文献中会用一个比喻来说明这个观点：一张平整的席梦思床垫（平直空间），中间放一只大铅球（大质量物体），平直的平面就变形了，就出了一个凹陷的坑，空间发生了弯曲。坑边若有一个小球在滚动，这不是大铅球对小球的吸引，而是空间的凹陷使它只能做这样的曲线运动。

这个比喻是形象的，让人容易去理解空间的弯曲及其对周围物体运动的影响，但是要注意这里有一定缺陷：首先，时空弯曲并不是重力吸引了铅球使床面变形，而是质量大的物体，使得周围时空发生了变形；其次，这里的变形是我们看得见的二维的变形，真实的情形是三维空间的变形，是我们看不到的，很难想象的；再其次，这里也看不到时间的弯曲。因此，这个比喻至多只能提供我们对时空弯曲的一些辅助性理解和想象。

爱因斯坦认为，宇宙间的星体就是运行在非欧几里得的弯曲空间里，这里并没有什么引力。在这个弯曲的空间中，物体的运动都是沿着它的“短程线”下落的“惯性运动”，“短程线”类似于球面上最短的一条弧线，也可以认为是曲面上的“直线”。这种弯曲时空结构，就使得物体只能以这样的方式运动。这里不是力（没有了力）使它们这么运动，是空间的几何条件使它们只能这么运动，爱因斯坦不需要引力这个概念。

如此看来，时空就不再是被动的、与物无关的万物活动的舞台，而是规定了万物在其中如何运动的场所。对于这种情况，美国著名物理学家惠勒是这样说的：“物质告诉我们空间该如何弯曲；空间告诉我们物质该如何运动。”

对于地球上熟悉的现象，如物体的下落，子弹的飞行等，爱因斯坦的理论与牛顿理论预言近乎全同。对于在异常的情形下（宇宙创生的早期，黑洞附近），爱因斯坦的理论与牛顿理论的预言就有了很大的差异。从概念上看这两个理论就有根本的不同。地球绕太阳运动，牛顿理论是引力，像是从太阳伸出了一根绳子系紧了地球，甩着地球绕着太阳转，这根绳子的拉力就是引力，这很直观，也很形象，很好理解；爱因斯坦的理论认为这是太阳形成的空间的弯曲，地球就是在这个弯曲的空间里沿“短程线”运动。当然不是说弯曲的空间就是地球绕太阳运动的环形的圆圈。相反，这是一个四维弯曲的时空，在时间维度中向着时间增大方向延伸，地球像是运动在一个没有尽头螺旋线的轨道上。

费曼说，从物理上看，宇宙的历史应当被看成是一个四维时空，而不是被看作是一个随时间演化的三维空间，这一观点无疑是现代物理学的基本原理。