拉普拉斯变换有什么用？

2019-08-01
作者：Studio TBsoft
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来源：知乎
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说明：本文中的“正弦信号”泛指按照正弦 $sin$ 函数或者余弦 $cos$ 函数规律变化的信号，因为二者变化规律实际相同，只存在相位差异。

解释要让人听得懂，映射、空间、变换这样的数学术语，也许211、985的大神能听得懂，一般学校的本科生，可能在学电路原理和模拟电子之前，复变函数与积分变换都没学过，只会越听越糊涂。数学是一种工具，在工科中数学更多的是应用，工科中讲数学，应该把数学应用在本领域的物理（实际）意义讲清楚，不能单纯讲数学，更不应该为了数学讲数学，否则很难让只有工科背景，而缺乏数学专业背景的读者理解。傅里叶变换有着明确的物理意义——频谱分析，其实拉普拉斯变换也有明确的物理意义。

简单的说，傅里叶变换也罢，拉普拉斯变换也罢，都是把一个信号分解成若干（实际上可以是无数）信号之和，或者说若干信号叠加的手段。

对于非周期性信号，只要是在时间轴（ $t$ 轴，对应平面直角坐标系上的横轴）上可积的信号，简单说（不严谨）就是横轴上方信号曲线所占的面积算正，横轴下方信号曲线所占的面积算负，把所有面积加起来不是无穷大，就算这个信号可积，例如单个或者有限个脉冲信号就是可积的，因为其所占面积加起来是有限的。如果是周期性的信号，例如一定频率的交流或者脉冲信号，那么要求在一个周期内是可积的。这两类信号，就可以用傅里叶变换分解为若干（无数）不同频率（也包括不同相位）正弦信号之和，或者说相当于不同频率正弦信号的叠加。

傅里叶变换和傅里叶反变换一般写成复指数形式，但 $e^{jωt}$ ，本质就是一种正弦信号，因为根据欧拉公式， $e^{jωt}=cosωt+jsinωt$ ，无论取其实部，还是取其虚部，都相当于正弦信号，这与能用相量 $e^{jφ}$ 表示正弦交流电的道理是相同的［相量 $e^{jφ}$ 实际上是 $e^{j(ωt+φ)}$ 的一种简化形式］。

线性电路，即一般RLC电路，处理正弦信号较为容易，因为对于稳定的正弦信号，电阻、感抗和容抗都是固定不变的，那么如果要处理非正弦周期性信号，只消用傅里叶变换把信号分解为正弦信号的叠加，然后按照正弦信号处理，最后把处理结果再重新叠加起来（傅里叶反变换）就行了。

线性电路对某一频率正弦信号，输出和输入的关系，叫做这个线性电路的频率响应。对于非正弦周期性信号，例如矩形波信号，甚至非周期性信号，可以使用傅里叶变换把信号分解为不同频率正弦信号的叠加，每个正弦信号可以看作非正弦信号的一个成分，对每个成分求对应频率下的频率响应，最后用傅里叶反变换叠加起来，就成了非正弦信号的响应。

也就是说，傅里叶变换带来的好处，就是把很难处理计算的非正弦信号化为容易处理计算的正弦信号。

那么拉普拉斯变换呢？如果信号在时间轴上不可积，傅里叶变换就不能使用了，但拉普拉斯变换证明，这种信号虽然不能分解成正弦信号之和，但仍然有可能分解成幅度（峰值）按照时间增长，成指数规律增加的正弦信号之和，也就是若干（无数）不同频率的指数增幅正弦信号之和。例如单位阶跃信号在时间轴上不可积（所占面积无穷大），傅里叶变换不能用，但拉普拉斯变换却能用。

拉普拉斯（反）变换中的 $e^{st}$ ，本质就是一种指数增幅（也包括负增幅，即衰减）正弦信号，因为 $s=σ+jω$ ，根据欧拉公式， $e^{st}=e^{σt+jωt}=(e^{σt})(cosωt+jsinωt)=(e^{σt})cosωt+j(e^{σt})sinωt$ ，无论取其实部，还是取其虚部，都相当于指数增幅［ $e^{σt}$ 随时间 $t$ 增加而增长］正弦信号。

对于指数增幅正弦信号，线性电路，或者自控中的线性系统也是容易处理的，因此拉普拉斯变换也可以把很难处理计算的某些信号（例如单位阶跃信号）化为容易处理计算的指数增幅正弦信号，这就是为什么处理冲激响应、阶跃响应等，多用拉普拉斯变换处理的原因。

从上面的分析可以看出，拉普拉斯变换是傅里叶变换的一种扩展，或者说傅里叶变换实际上可以看作拉普拉斯变换的特例，因为在 $σ=0$ 的情况下，指数增幅正弦信号就变成了普通等幅正弦信号，因此传递函数将s换成 $jω$ ，也就是相当于 $σ=0$ ，就成了频率响应函数。反过来说，传递函数就是“指数增幅（或者衰减）正弦信号”的“频率响应函数”，或者叫做“复频率响应函数”，“复频率”，也就是 $s$ ，相当于“同时考虑频率和增幅（或者衰减）系数”。

说白了，傅里叶变换、拉普拉斯变换甚至小波变换等，其本质就是把“不容易处理的信号”变换成“容易处理的信号之叠加”，对于傅里叶变换，这个“容易处理的信号”是正弦信号；对于拉普拉斯变换，这个“容易处理的信号”是指数增幅正弦信号；对于小波变换，这个“容易处理的信号”就是某种特殊的小波信号，不同的小波信号种类，叫做不同的“小波基”。

上述分析是用电路举例，但用于自控也是一样，因为二者都能化为相同的信号流图，二者的微分方程模型也是相同的。电路和自控在很多内容上，数学内核是相同的，例如运放的“虚短”和自控系统中“负反馈使得余差减小直到趋向于零”的本质是完全相同的，想想看为什么？（提示，数学本质都是负反馈）

附注：为什么拉普拉斯变换能把微分方程化为代数方程？

可以做一不太严谨的通俗解释：从数学角度说，这是因为指数函数（仅指 $e^x$ ，即以 $e$ 为底的指数函数）和三角函数（仅指 $sinx$ 和 $cosx$ 两个基本三角函数）都有一种特性：指数函数的导数还是指数函数，三角函数的导数还是三角函数，实际上通过欧拉公式，三角函数本来就可以用指数函数表示出来。

这样一来，当正弦信号或者指数增幅正弦信号代入微分方程后，无论取几阶导数，导数仍然只有正弦信号或者指数增幅正弦信号，实际上此时的微分方程就可以化为以正弦信号或者指数增幅正弦信号为未知数的代数方程。

这一现象，在线性电路中就表现为，对于正弦信号或者指数增幅正弦信号，电感和电容（都相当于一种微分）的电抗（包括感抗和容抗），与 $jω$ 或者 $s$ 仅为简单的代数关系，也就是“正弦信号感抗容抗固定”。

因此，用拉普拉斯变换将信号分解为指数增幅正弦信号，再用微分方程处理，微分方程就变成了代数方程。