A/B实验设计——如何避免多重检验错误

本文介绍A/B实验中一个常见的错误——多重检验错误,它经常影响实验得到错误的结论。相关数学推导放在文末,跳过不影响理解。

错误案例

让我们从先看一个例子:软糖会导致粉刺么?


软糖实验

如图,各实验组食用不同颜色软糖,绿色软糖组粉刺情况与对照组显著改变(p < 0.05),似乎可以得到绿色软糖会影响粉刺。但是各种软糖成分几乎是相同的,为什么只有绿色会影响呢?问题出在哪?

错误原因

  1. 假设检验通建立在统计学原理上,假设检验并不能不产生误判,而是控制误判在我们预设范围之内,称为假阳性错误(α水平,一般选在5%)
  2. 每次验证都会有错误的概率,因此只要检验次数增加,遇到至少一次错误的概率也会增加。

案例分析

上面的例子中,把各种颜色的糖作为不同实验组,与对照组进行对比。假设有20种糖,假阳性水平控制为5%,预期得到的显著结果为 20 * 5% = 1。我们很容易发现某种颜色糖果“似乎”与粉刺有关系,然而这是错误的。

如何避免

1. 合理的设计实验

设计实验前充分分析、调查,针对相关可能最大的因素进行实验,避免大量无用因素干扰得到错误结论。

宗旨:尽量减少检验次数,降低犯错概率
  • 控制实验组尽可能少
    不同颜色软糖对粉刺的影响不应该有区别,因此只需要设计一组实验组。
  • 控制指标尽可能少
    我们可以同时检验软糖实验组对粉刺、喉咙痛、高血压...再夸张些,婚姻幸福度、孩子情况...检验的指标越多,得到假阳性结果的可能性同样上升(吃软糖与生女孩相关明显是荒谬的)。


2. 多次检验校正

统计学领域已经发明了一些方法来对多次检验进行校正。主要思想是检验次数越多,就要对显著采用更严格的限制,但是都会导致power的损失,降低发现率。常用方式:Bonferroni correctionHolm–Bonferroni method
缺点:会导致power有所损失(特别是检验结果不独立时)。

3. 实验后分析

显著不等于一定正确。实验后需要对实验进行因果分析,结果需要可合理解释(不是编故事)。如果采用了多次检验校正,还需要考虑假阴性问题。

总结

明确概念,显著 ≠ 正确。
谨慎设计实验,尽量规避多重检验问题,必要情况下通过统计学方法校正。


多重检验校正方法推导

符号定义

  • m:总检验假设数
  • m0:零假设正确的数量,我们无法得知
  • m - m0:备择假设正确的数量
  • V:假阳性结论数量
  • S:真阳性数量
  • T:假阴性数量
  • U:真阴性数量
  • R = V + S:拒绝零假设数量
    在m个假设检验中,m0个零假设为真,R是观察到的显著情况的随机变量,S、T、U、V都是不可观测的随机变量。

相关推导

如果m次检验是独立的,则产生假阳性的概率为:
\alpha = 1 - ( 1 - \alpha_{sub} )^{m}
如果检验不是独立的,仍然有:
\alpha \leq m * \alpha_{sub}

Bonferroni correction

方法:将每次检验的显著性从\alpha_{sub}调整为\alpha_{newSub} = \alpha_{sub} / m
原理:根据上述不等式,则有\alpha \leq m * \alpha_{newSub} = \alpha_{sub} ,因此可以有效将假阳性水平控制在预设之内。
优点:简单好理解。
缺点:由于条件过于严格,假阴性错误率升高。

Holm–Bonferroni method

方法:将得到的P值从小到大排序记序号为i(1 ~ m),从i = 1开始与 \alpha / (m - i + 1)比较,小于就继续比较下一个。直到找出不符合条件的i(也可能不存在) ,i之前的全部认为显著,i及i之后的全部不显著。
原理:

  1. 将p值从大到小排序;
  2. 我们只需要关心P值最小的第一个零假设为真的情况:如果被拒绝,产生假阳性;否则,比较过程停止,未产生假阳性;
  3. 设第一个零假设为真的比较序号为h,则共有h - 1次正确的拒绝零假设,则:
    本次拒绝零假设条件为\alpha / (m - h + 1) (a);
    h - 1 \leq m - m0(正确拒绝的次数,一定小于等于备择假设为真的次数);
    推出\frac{1}{m - h + 1} \leq \frac{1}{m_0} (b);
    不等式两边乘以\alpha,得到(a)\leq \frac{\alpha}{m_0}
  4. 根据相关推导中结论,单次比较\alpha_{sub} \leq \frac{\alpha}{m_0},又m_0种等可能情况,则:
    \alpha_{_{real}} \leq m_0 * \alpha_{sub} \leq \alpha

优点:相对简单,假阴性错误率小于等于Bonferroni correction。
缺点:假阴性依然高于预设(尤其是在检验结果相关情况下)。

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