Logistics回归公式的推导

首先根据最大似然估计找到目标函数

$P(y|x;\theta) = (h_\theta(x))^y(1-h_\theta(x))^{1-y}$

似然函数为

$L(\theta) = \prod^m_{i=1}P(y^{(i)}|x^{(i)};\theta) = \prod^m_{i=1}(h_\theta(x^{(i)}))^{(y^{(i)})}(1-h_\theta(x^{(i)}))^{(1-y^{(i)})}$

对数似然为

$l(\theta)=\sum_{i=1}^m\Big(y^{(i)}\log h_\theta(x^{(i)}) + (1-y^{(i)})\log (1-h_\theta(x^{(i)}))\Big)$

代价函数为

$J(\theta) = -\frac{1}{m}l(\theta)$

梯度下降，逐渐更新`$\theta$`

$\theta_j := \theta_j - \alpha\frac{\partial}{\partial\theta_j}J(\theta), (j = 0...n)$

设

$h(x) = \frac1{1+e^{-\theta^Tx}} g(z) = \frac1{1+e^{-z}}$

变量替换，即可由h(x)变换为g(x)

`$\alpha$`是学习速率，然后偏导即为梯度方向：

$\frac{\partial}{\partial\theta}J(\theta) = -\frac{1}{m}\sum^m_{i=1}\Big( y^{(i)}\frac1{h_\theta(x^{(i)})} \frac{\partial}{\partial\theta_j}h_\theta(x^{(i)}) -(1-y^{(i)})\frac1{h_\theta(x^{(i)})} \frac{\partial}{\partial\theta_j}h_\theta(x^{(i)}) \Big) \\ =-\frac1m\sum^m_{i=1}\Big( y^{(i)}\frac1{g(\theta^Tx^{(i)})} -(1-y^{(i)})\frac1{1-g(\theta^Tx^{(i)})} \Big)\frac\partial{\partial\theta_j}g(\theta^Tx^{(i)}) \\ =-\frac1m\sum^m_{i=1}\Big( y^{(i)}\frac1{g(\theta^Tx^{(i)})} -(1-y^{(i)})\frac1{1-g(\theta^Tx^{(i)})} \Big)g(\theta^Tx^{(i)})(1-g(\theta^Tx^{(i)})) \frac\partial{\partial\theta_j}\theta^Tx^{(i)} \\ =-\frac1m\sum^m_{i=1}\Big( y^{(i)}(1-g(\theta^Tx^{(i)})) -(1-y^{(i)})g(\theta^Tx^{(i)}) \Big)x^{(i)}_j \\ =-\frac1m\sum^m_{i=1}\Big( y^{(i)}-g(\theta^Tx^{(i)}) \Big)x^{(i)}_j \\ =-\frac1m\sum^m_{i=1}\Big( y^{(i)}-h(x^{(i)}) \Big)x^{(i)}_j \\ =\frac1m\sum^m_{i=1}\Big( h(x^{(i)})-y^{(i)} \Big)x^{(i)}_j$

上述式子的第三步到第四步，是线性回归的偏导数求法，这里不作展开

上述式子的第二步到第三步，下面有详细推导。

其中最后一步的良好性质，正是我们选择sigmoid函数的原因

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 203,547评论 6赞 477
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 85,399评论 2赞 381
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 150,428评论 0赞 337
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 54,599评论 1赞 274
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 63,612评论 5赞 365
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 48,577评论 1赞 281
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 37,941评论 3赞 395
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 36,603评论 0赞 258
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 40,852评论 1赞 297
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 35,605评论 2赞 321
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 37,693评论 1赞 329
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 33,375评论 4赞 318
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 38,955评论 3赞 307
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 29,936评论 0赞 19
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 31,172评论 1赞 259
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 43,970评论 2赞 349
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 42,414评论 2赞 342

Logistics回归公式的推导

推荐阅读更多精彩内容