机器学习第七周笔记 支持向量机

原创性(非组合)的具有明显直观几何意义的分类算法,具有较高的准确率
源于Vapnik和Chervonenkis关于统计学习的早期工作(1971年),第一篇有关论文由Boser、Guyon、Vapnik发表在1992年(参考文档见韩家炜书9.10节)
思想直观,但细节异常复杂,内容涉及凸分析算法,核函数,神经网络等高深的领域,几乎可以写成单独的大部头与著。大部分非与业人士会觉得难以理解。
某名人评论:SVM是让应用数学家真正得到应用的一种算法

思路


简单情况,线性可分,把问题转化为一个凸优化问题,可以用拉格朗日乘子法简化,然后用既有的算法解决
复杂情况,线性不可分,用映射函数将样本投射到高维空间,使其变成线性可分的情形。利用核函数来减少高维度计算量

    1. 最大边缘超平面(MMH)
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    1. 转化为凸优化问题
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    1. 拉格朗日乘子法
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背景:拉格朗日乘子法的几何解释

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    1. Karush-Kuhn-Tucker 最优化条件(KKT 条件)
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  • 参考文章

关于支持向量机:http://www.cnblogs.com/LeftNotEasy/archive/2011/05/18/2034566.html
关于拉格朗日乘子法:http://blog.csdn.net/xianlingmao/article/details/7919597
关于KKT条件:http://hi.baidu.com/grandyang/item/94cd68dfdc06941e21e25099
求解凸优化问题的斱法:http://wenku.baidu.com/link?url=Qwc1n8RL8GVzi0Bk_KKsru0rvm-TgyOUQvWZtrBEQVjbmrn0rNfv-SAcJgBgZ8kkx0wl9r5IC5rvEYs44fQ0p_L-KExJtvVTS3Uj4S68UpG

    1. 进一步简化为对偶问题
      前一步得出的KKT条件中的变量太多
      为后续引入核函数作模型准备
      将前一步的梯度计算结果重新代入到拉格朗日函数
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    1. 对偶问题:简化后的凸优化问题
      比之前的凸优化问题简洁
      可以用各种凸优化算法加以解决
      只有支持向量参不计算,所以计算觃模进低于我们的想象
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  • 对偶问题
    对偶公式中的未知数仅涉及拉格朗日乘子,而原问题中未知数还包含决策边界几何特征参数,未知数太多
    待定乘子中实质有徆多为0,仅在“支持向量”处丌为0,所以最后的出的函数表达式进比想象中简单(但问题是预先无法知道哪些样本点是“支持向量”)

线性不可分的情形


大部分情况都丌是线性可分的
线性丌可分时无法使用前述数学技巧
也可以使用加惩罚函数的斱法解决:http://www.cnblogs.com/LeftNotEasy/archive/2011/05/18/2034566.html

    1. 松弛变量不惩罚函数

公式中蓝色的部分为在线性可分问题的基础上加上的惩罚函数部分,当xi在正确一边的时候,ε=0,R为全部的点的数目,C是一个由用户去指定的系数,表示对分错的点加入多少的惩罚,当C徆大的时候,分错的点就会更少,但是过拟合的情况可能会比较严重,当C很小的时候,分错的点可能会徆多,不过可能由此得到的模型也会丌太正确,所以如何选择C是有很多学问的,不过在大部分情况下就是通过经验尝试得到的。

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    1. 线性不可分情形下的对偶问题
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    1. SMO算法

Sequential minimal optimization
Microsoft Research的JohnC. Platt在1998年提出
最快的二次觃划优化算法
针对线性SVM和数据稀疏时性能更优

原始论文《Sequential Minimal Optimization A Fast Algorithm for Training Support Vector Machines》
http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/03/18/1988419.html

算法基本思路

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    1. 映射至高维空间
    1. 维度灾难
      公式中红字的地斱要使用映射后的样本向量代替做内积
      最初的特征是n维的,我们将其映射到n^2 维,然后再计算,这样需要的时间从原先的O(n)变成O(n^2)
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  • 另一种核函数
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  • 几种常用核函数
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  • 核函数的有效性
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  • 核函数矩阵
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    1. Mercer定理
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    1. 在拉格朗日函数中使用核函数简化
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R

data(iris)
attach(iris)
## classification mode
# default with factor response:
model <-svm(Species ~ ., data = iris)
# alternatively the traditional interface:
x <-subset(iris, select = -Species)
y <-Species
model <-svm(x, y)
print(model)
summary(model)
# test with train data
pred<-predict(model, x)
# (same as:)
pred<-fitted(model)
# Check accuracy:
table(pred, y)
# compute decision values and probabilities:
pred<-predict(model, x, decision.values= TRUE)
attr(pred, "decision.values")[1:4,]
# visualize (classes by color, SV by crosses):
plot(cmdscale(dist(iris[,-5])),
col= as.integer(iris[,5]),
pch= c("o","+")[1:150 %in% model$index+ 1])
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