LeetCode-H295-堆-数据流的中位数

题目

中位数是有序列表中间的数。如果列表长度是偶数,中位数则是中间两个数的平均值。例如:

[2,3,4] 的中位数是 3
[2,3] 的中位数是 (2 + 3) / 2 = 2.5

设计一个支持以下两种操作的数据结构:void addNum(int num) - 从数据流中添加一个整数到数据结构中。double findMedian() - 返回目前所有元素的中位数。

示例

addNum(1)
addNum(2)
findMedian() -> 1.5
addNum(3)
findMedian() -> 2

思路

所谓求有序列表的中位数,就是返回该有序列表中第中位数个最大值,又是对于堆(优先队列)的应用。所以,可以先将所有值压入堆中,如果是奇数,弹出floor(data.size/2)个元素后,访问并输出堆顶即可;如果是偶数,弹出floor(data.size/2)-1个元素后,取出堆顶两个元素求平均即可。
但对于本题,因为有序列表长度是动态递增的,而不是静态固定的长度,所以如果按上面提到的思路解决,需要先弹出,然后访问,接着又压入,这样大大提高了算法的时间复杂度和空间复杂度。因此需要寻求其他方法。
因为是有序列表,因此中位数前面的元素一定比中位数小,而后面的元素一定比中位数大。根据这个性质可以将有序列表分为两部分,然后使用最大堆去存储中位数前面的元素,使用最小堆去存储中位数后面的元素。最后根据有序列表长度是偶数还是奇数,返回两个堆堆顶的平均值或最大堆的堆顶(奇数个时,用最大堆存储多出来的数)。算法如下:

  • 将新添加的数压入最大堆
  • 将最大堆堆顶元素弹出并压入在最小堆中
  • 如果最大堆的size小于最小堆的size,则将最小堆堆顶元素弹出并压入最大堆
  • 访问中位数时
    • 如果最大堆size大于最小堆size,说明当前是奇数个,所以访问最大堆堆顶即可;
    • 如果相等,则说明是偶数个,所以访问两个堆的堆顶求平均值返回。

解答

class MedianFinder {
public:
    //始终保持最大堆里是最小的几个数,最小堆里是最大的几个数
    void addNum(int num) {
        //将最大堆的堆顶压入最小堆
        low.push(num);  
        high.push(low.top()); 
        low.pop(); 

        //需要保持两个堆元素数量平衡,
        //如果不平衡,就将最小堆的堆顶压入最大堆
        if(low.size() < high.size()) {   
            low.push(high.top());
            high.pop();
        }
    }

    //如果数据流元素数量是奇数,则最大堆的堆顶就是所求中位数
    //否则取出两个堆的堆顶求平均
    double findMedian() {
        if(low.size() > high.size())  //奇数个元素
            return (double)low.top();
        else //偶数个元素
            return (low.top() + high.top()) * 0.5;
    }
private:
    //最大堆,存放数据流中前半块小的数据
    priority_queue<int> low;  
    //最小堆,存放数据流中后半块大的数据
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> high;   
};

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