1 图的定义
一个图(G)定义为一个偶对(V,E)，记为G=(V,E)。
V是顶点(Vertex)的非空有限集合，记为V(G)。
E是无序集V&V的一个子集，记为E(G)，其元素是图的弧(Arc)。
将顶点集合为空的图称为空图。
弧：表示两个顶点v和w之间存在一个关系，用顶点偶对<v,w>表示。
2 图的重要术语
(1)无向图:
在一个图中，如果任意两个顶点构成的偶对(v,w)∈E 是无序的，即顶点之间的连线是没有方向的，则称该图为无向图。
(2)有向图:
在一个图中，如果任意两个顶点构成的偶对(v,w)∈E 是有序的，即顶点之间的连线是有方向的，则称该图为有向图。一般记作<v,w>
(3)完全无向图:
在一个无向图中，如果任意两顶点都有一条直接边相连接，则称该图为完全无向图。在一个含有 n 个顶点的完全无向图中，有n(n-1)/2条边。
(4)完全有向图:
在一个有向图中，如果任意两顶点之间都有方向互为相反的两条弧相连接，则称该图为完全有向图。在一个含有 n 个顶点的完全有向图中，有n(n-1)条边。
(5)稠密图、稀疏图:
若一个图接近完全图，称为稠密图;称边数很少()的图为稀疏图。
(6)顶点的度、入度、出度:
顶点的度(degree)是指依附于某顶点的边数，通常记为TD(
)。
在无向图中，所有顶点度的和是图中边的2倍。
在有向图中，要区别顶点的入度(Indegree)与出度(Outdegree)的概念。
顶点的入度是指以顶点为终点的弧的数目，记为ID (
);
顶点出度是指以顶点
为始点的弧的数目，记为 OD(
)。
顶点的出度与入度之和称为
的度，记为TD(
)。即TD(
)=OD(
)+ID (
)。
(7)边的权、网图:
与边有关的数据信息称为权(weight)。在实际应用中，权值可以有某种含义。
边上带权的图称为网图或网络(network)。如果边是有方向的带权图，则就是一个有向网图。
(8)路径、路径长度:
对无向图，若从顶点经过若干条边能到达
，则称顶点
和
是连通的，又称顶点
到
有路径。
对有向图，从顶点到
有有向路径，指的是从顶点
经过若干条有向边能到达
。
路径上边或有向边(弧)的数目称为路径长度。
(9)简单路径、回路、简单回路:
在一条路径中，若没有重复相同的顶点，该路径称为简单路径。
第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路(环)。
除第一个顶点与最后一个顶点之外，其他顶点不重复出现的回路称为简单回路，或者简单环。
(10)子图和生成子图:
对于图 G=(V，E)，G’=(V’，E’)，若存在 V’是 V 的子集 ，E’是 E的子集，则称图 G’是 G 的一个子图；
若V’=V且E’是E的子集，则称图G’是G的一个生成子图。
(11)连通图、连通分量:
对无向图G=(V,E)，若任意 都是连通的，则称该图是连通图，否则称为非连通图。
若G是非连通图，则极大连通子图称为连通分量。
极大的含义：指的是对子图再增加图G中的其它顶点，子图就不再连通。
任何连通图的连通分量只有一个，即本身，而非连通图有多个连通分量。
(12)强连通图、强连通分量:
对于有向图来说，若图中任意一对顶点均有从一个顶点
到另一个顶点
有路径，也有从
到
的路径，则称该有向图是强连通图。
有向图的极大强连通子图称为强连通分量。
强连通图只有一个强连通分量，即本身。非强连通图有多个强连通分量。
(13)生成树:
一个连通图(无向图)的生成树是一个极小连通子图，它含有图中全部n个顶点和只有足以构成一棵树的n-1条边，称为图的生成树。
(14)生成森林:
有向树是只有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1的有向图。
有向图的生成森林是这样一个子图，由若干棵有向树组成，含有图中全部顶点。
3 图的存储结构和基本操作
(1)邻接矩阵法(Adjacency Matrix)
基本思想：对于有n个顶点的图，用一维数组vexs[n]存储顶点信息，用二维数组A[n][n]存储顶点之间关系的信息。该二维数组称为邻接矩阵。
在邻接矩阵中，以顶点在vexs数组中的下标代表顶点，邻接矩阵中的元素A[i][j]存放的是顶点i到顶点j之间关系的信息。
1)无向图的数组表示
①无向无权图的邻接矩阵
无向无权图其邻接矩阵是n阶对称方阵。
若两条边相连,A[i][j]=1; 若不相连A[i][j]=0。
②无向带权图的邻接矩阵
若两条边相连，，W为权值。
若两条边不相连，A[i][j]=
③无向图邻接矩阵的特性
无向图的邻接矩阵一定是一个对称矩阵。因此，在具体存放邻接矩阵时只需存放 上(或下)三角矩阵的元素即可。
对于顶点，其度数是第i行的非0元素(或非
元素)的个数。
无向图的边数是上（或下）三角形矩阵的非0元素(或非元素)的个数。
2)有向图的数组表示
①有向无权图的邻接矩阵
若有向无权图G=(V,E)有n个顶点，则其邻接矩阵是n阶方阵：
若从到
有弧，A[i][j]=1；
若从到
没有弧，A[i][j]=0；
②有向带权图的邻接矩阵
③有向图邻接矩阵的特性
对于顶点，第i行的非0元素(或非
元素)的个数是其出度OD(
)；
第i列的非0元素(或非元素)的个数是其入度ID(
);
邻接矩阵中非0元素(或非元素)的个数就是图的弧的个数。
对于n个顶点e条边的无向图，邻接矩阵表示时有nn个元素，2
e个非0元素。
对于n个顶点e条边的有向图，邻接矩阵表示时有nn个元素，e个非0元素。
3)图的邻接矩阵的操作
定义两个数组分别存储顶点信息(数据元素)和边或弧的信息(数据元素之间的关系) 。
#define INFINITY 65535//定义无穷
#define MAX_VEX 30 //最大顶点数目
typedef enum {
DG, AG, WDG, WAG //{有向图，无向图，带权有向图，带权无向图}
} GraphKind;
typedef struct {
GraphKind kind; /* 图的种类标志 */
int verxtexNum, arcNum; /* 图的当前顶点数和弧数 */
char vexs[MAX_VEX]; //顶点集合
int edges[MAX_VEX][MAX_VEX];//邻接矩阵
} MGraph;/* 图的结构定义 */
图的各种操作。
①图的创建
MGraph *createGraph(MGraph *G) {
printf("请输入图的种类标志:");
scanf("%d", &G->kind);
G->verxtexNum = 0; /* 初始化顶点个数 */
return (G);
}
②图的顶点定位
实际上是确定一个顶点在 vexs 数组中的位置(下标) ，其过程完全等同于在顺序存储的线性表中查找一个数据元素。
int LocateVex(MGraph *G, char ch) {
for (int i = 0; i < G->verxtexNum; i++) {
if (G->vexs[i] == ch) {
return (i);
}
}
return (-1); /*图中无此顶点*/
}
③向图中增加顶点
向图中增加一个顶点的操作，类似在顺序存储的线性表的末尾增加一个数据元素。
int addVertex(MGraph *G, char ch) {
int j, k;
if (G->verxtexNum >= MAX_VEX) {
printf("Vertex overflow!\n");
return (-1);
}
if (LocateVex(G, ch) != -1) {
printf("Vertex has existed!\n");
return (-1);
}
k = G->verxtexNum;
G->vexs[G->verxtexNum++] = ch;
if (G->kind == DG || G->kind == AG) {//不带权
for (j = 0; j < G->verxtexNum; j++) {//新加一行和一列
G->edges[j][k] = G->edges[k][j] = 0;
}
} else {
for (j = 0; j < G->verxtexNum; j++) {
G->edges[j][k] = G->edges[k][j] = INFINITY;
}
}
return (k);
}
④向图中增加一条弧
根据给定的弧或边所依附的顶点，修改邻接矩阵中所对应的数组元素。
int addArc(MGraph *G, char ch1, char ch2, int weight) {
int j = LocateVex(G, ch1);
int k = LocateVex(G, ch2);
if (k == -1 || j == -1) {
printf("Vertex do not exist!\n");
return (-1);
}
if (G->kind == DG || G->kind == WDG) {//有向图
G->edges[j][k] == weight;
} else {//无向图
G->edges[j][k] == weight;
G->edges[k][j] == weight;
}
return (1);
}
(2)邻接链表法
1)基本思想：类似于树的孩子链表法，就是对于图 G 中的每个顶点，将所有邻接于
的顶点
链成一个单链表，这个单链表就称为顶点
的邻接链表，再将所有点的邻接表表头放到数组中，就构成了图的邻接链表。
一种是顶点表的结点结构，它由顶点域(data)和指向第一条邻接边的指针域(firstarc) 构成。
另一种是边表(即邻接表)结点，它由邻接点域(adjvex)和指向下一条邻接边的指针域(nextarc)构成。
对于网图的边表需再增设一个存储边上信息(如权值等)的域(info)。
对无向图，其邻接链表是唯一(按顺序链接)的；对有向图，其邻接链表有两种形式。
2)从图的邻接表存储方法容易看出，这种表示具有以下特点:
①表头向量中每个分量就是一个单链表的头结点，分量个数就是图中的顶点数目。
②在边稀疏的情况下，用邻接表表示图比邻接矩阵节省存储空间。
③在无向图的邻接表中，顶点的度恰为第 i 个链表中的结点数。
④有向图可以建立一个正邻接表和逆邻接表，便于统计每个结点的出度和入度。
⑤在邻接表上容易找到任一顶点的第一个邻接点和下一个邻接点，但要判定任意两个顶点(和
)之间是否有边或弧相连，则需搜索第 i 个或第 j 个链表，因此，不及邻接矩阵方便。
对于n个顶点e条边的无向图，邻接表表示时有n个表头结点，2e个表结点。
对于n个顶点e条边的有向图，邻接表表示时有n个表头结点，表结点数不确定，但正邻接表加上逆邻接表表结点数为e。
3)表结点及其类型定义
#define MAX_VEX 30 /* 最大顶点数 */
typedef enum {
DG, AG, WDG, WAG
} GraphKind;
typedef struct LinkNode {
int adjvex;//邻接点在头结点数组中的位置(下标)
int weight;//权值
struct LinkNode *nextarc;//指向下一个表结点
} LinkNode;/*表结点类型定义 */
typedef struct VexNode {
char data; // 顶点信息
LinkNode *firstarc; // 指向第一个表结点
} VexNode;/* 顶点结点类型定义 */
typedef struct {
GraphKind kind;/*图的种类标志 */
int vexnum;//顶点数
VexNode AdjList[MAX_VEX];//邻接表
} ALGraph;/* 图的结构定义 */
图的各种操作
①图的创建
ALGraph *createGraph(ALGraph *G) {
printf("请输入图的种类标志:");
scanf("%d", &G->kind);
G->vexnum = 0; /*初始化顶点个数*/
return (G);
}
②顶点定位
图的顶点定位实际上是确定一个顶点在 AdjList 数组中的某个元素的 data 域内容。
int LocateVex(ALGraph *G, char ch) {
for (int i = 0; i < G->vexnum; i++) {
if (G->AdjList[i].data == ch) {
return (i);
}
}
return (-1);/* 图中无此顶点*/
}
③向图中增加顶点
向图中增加一个顶点的操作，在 AdjList 数组的末尾增加一个数据元素。
int AddVertex(ALGraph *G, char ch) {
int k;
if (G->vexnum >= MAX_VEX) {
printf("Vertex Overflow !\n");
return (-1);
}
if (LocateVex(G, ch) != -1) {
printf("Vertex has existed !\n");
return (-1);
}
G->AdjList[G->vexnum].data = ch;
G->AdjList[G->vexnum].firstarc = NULL;
k = ++G->vexnum;
return k;
}
④向图中增加一条弧
根据给定弧或边所依附的顶点，修改单链表，无向图修改两个单链表;有向图修改一个单链表。
int addArc(ALGraph *G, char ch1, char ch2, int weight) {
int k, j;
LinkNode *p, *q;
k = LocateVex(G, ch1);
j = LocateVex(G, ch2);
if (k == -1 || j == -1) {
printf("Arc’s Vertex do not exist!\n");
return (-1);
}
p = (LinkNode *) malloc(sizeof(LinkNode));
p->weight = weight;
q = (LinkNode *) malloc(sizeof(LinkNode));
q->weight = weight;
if (G->kind == AG || G->kind == WAG) {//无向图，用头插入法插入到两个单链表
p->nextarc = G->AdjList[k].firstarc;
G->AdjList[k].firstarc = p;
q->nextarc = G->AdjList[j].firstarc;
G->AdjList[j].firstarc = q;
} else {
p->nextarc = G->AdjList[k].firstarc;
G->AdjList[k].firstarc = p; /*建立正邻接链表用 */
// q->nextarc = G->AdjList[j].firstarc;
// G->AdjList[j].firstarc = q;/*建立逆邻接链表用 */
}
return (1);
}
(3) 十字链表法
十字链表(Orthogonal List)是有向图的另一种链式存储结构，是将有向图的正邻接表和逆邻接表结合起来得到的一种链表。
在这种结构中，每条弧的弧头结点和弧尾结点都存放在链表中，并将弧结点分别组织到以弧尾结点为头(顶点)结点和以弧头结点为头(顶点)结点的链表中。这种结构的结点逻辑结构如图所示。
data 域:存储和顶点相关的信息;
指针域 firstin:指向以该顶点为弧头的第一条弧所对应的弧结点，即逆邻接链表;
指针域 firstout:指向以该顶点为弧尾的第一条弧所对应的弧结点，即正邻接链表;
尾域 tailvex:指示弧尾顶点在图中的位置;
头域 headvex:指示弧头顶点在图中的位置;
指针域 hlink:指向弧头相同的下一条弧;
指针域 tlink:指向弧尾相同的下一条弧;
Info 域:指向该弧的相关信息，比如权值;
结点类型定义：
#define MAX_VEX 30 /* 最大顶点数 */
#define INFINITY 65535/* 最大值∞ */
#define MAX_VEX 30//最大顶点数
typedef struct ArcNode {
int tailvex, headvex;//尾结点和头结点在图中的位置
int info;//权值
struct ArcNode *hlink, *tlink;
} ArcNode;/* 弧结点类型定义 */
typedef struct VexNode {
char data; // 顶点信息
ArcNode *firstin, *firstout;
} VexNode;/* 顶点结点类型定义 */
typedef struct {
int vexnum;
VexNode xlist[MAX_VEX];
} OLGraph; /* 图的类型定义 */
下图所示是一个有向图及其十字链表(略去了表结点的 info 域)。实质就是先把图的正邻接链表(出度)画出来，然后再把firstin,firstout,hlink,tlink连起来。
(4)邻接多重表法
邻接多重表(Adjacency Multilist)是无向图的另一种链式存储结构。
邻接多重表的结构和十字链表类似，每条边用一个结点表示。
邻接多重表中的顶点结点结构与邻接表中的完全相同，而表结点包括六个域。
data 域:存储和顶点相关的信息;
指针域 firstedge:指向依附于该顶点的第一条边所对应的表结点;
标志域 mark:用以标识该条边是否被访问过;
ivex 和 jvex 域:分别保存该边所依附的两个顶点在图中的位置;
info 域:保存该边的相关信息;
指针域 ilink:指向下一条依附于顶点 ivex 的边;
指针域 jlink:指向下一条依附于顶点 jvex 的边;
结点类型定义:
#define MAX_VEX 30 /* 最大顶点数 */
typedef enum {
unvisited, visited
} Visitting;
typedef struct EdgeNode {
Visitting mark; // 访问标记
int ivex, jvex; // 该边依附的两个结点在图中的位置
int weight; //权值
struct EdgeNode *ilink, *jlink;// 分别指向依附于这两个顶点的下一条边
} EdgeNode; /* 弧边结点类型定义 */
typedef struct VexNode {
char data; // 顶点信息
EdgeNode *firsedge; // 指向依附于该顶点的第一条边
} VexNode;/* 顶点结点类型定义 */
typedef struct {
int vexnum;
VexNode mullist[MAX_VEX];
} AMGraph;
邻接多重表与邻接表的区别:后者的同一条边用两个表结点表示，而前者只用一个表结点表示;除标志域外，邻接多重表与邻接表表达的信息是相同的，因此，操作的实现也基本相似。
