树，是一种在实际编程中经常遇到的数据结构。它的逻辑很简单，除根节点之外，每个节点只有一个父节点，根节点没有父节点。除叶子节点之外所有节点都有一个或多个子节点，叶子节点没有子节点。父节点和子节点之间用指针链接。
二叉树，二叉树是树的一种特殊结构，在二叉树中每个节点最多只能有两个子节点。

一、特殊的二叉树及特点

1、斜树

所有的结点都只有左子树（左斜树），或者只有右子树（右斜树）。这就是斜树，应用较少

2、满二叉树

所有的分支结点都存在左子树和右子树，并且所有的叶子结点都在同一层上，这样就是满二叉树。就是完美圆满的意思，关键在于树的平衡。

根据满二叉树的定义，得到其特点为：
1 . 叶子只能出现在最下一层。
2 . 非叶子结点度一定是2.
3 . 在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子树最多。

3、完全二叉树

对一棵具有n个结点的二叉树按层序排号，如果编号为i的结点与同样深度的满二叉树编号为i结点在二叉树中位置完全相同，就是完全二叉树。满二叉树必须是完全二叉树，反过来不一定成立。

结合完全二叉树定义得到其特点：
1 . 叶子结点只能出现在最下两层
2 . 最下层叶子结点一定集中在左 部连续位置。
3 . 倒数第二层，如有叶子节点，一定出现在右部连续位置。
4 . 同样结点树的二叉树，完全二叉树的深度最小（满二叉树也是对的）。

根据下图加深理解，什么时候是完全二叉树。

三、二叉树性质

1、一般二叉树性质

• 在非空二叉树的i层上，至多有2^i-1个节点(i>=1)。通过归纳法论证。
• 在深度为K的二叉树上最多有2^k-1个结点（k>=1)。通过归纳法论证。
• 对于任何一棵非空的二叉树,如果叶节点个数为n₀，度数为2的节点个数为n₂，则有: n0 = n₂ + 1。
  在一棵二叉树中，除了叶子结点（度为0）之外，就剩下度为2(n2)和1(n1)的结点了。则树的结点总数为T = n0+n1+n2;在二叉树中结点总数为T，而连线数为T-1.所以有：n0+n1+n2-1 = 2*n2 +n1;最后得到n0 = n2+1;
  
  
  上图中结点总数是10，n2为4，n1为1，n0为5。

2、完全二叉树性质

1. 具有n的结点的完全二叉树的深度为(log₂n)+1,（向下取整）。

满二叉树是完全二叉树，对于深度为k的满二叉树中结点数量是2^k-1 = n，完全二叉树结点数量肯定最多2^k-1,同时完全二叉树倒数第二层肯定是满的（倒数第一层有结点，那么倒是第二层序号和满二叉树相同），所以完全二叉树的结点数最少大于少一层的满二叉树，为2^k-1-1。

根据上面推断得出： 2^k-1-1< n=<2^k-1，因为结点数Nn为整数那么n<=2^k-1可以推出n<=2^k ,n>2^k-1-1可以推出 n>=2^k-1,所以2^k-1<n<=2^{k 。}即可得k-1<=log₂n<k 而k作为整数因此k=[log₂n]+1。

2.如果有一颗有n个节点的完全二叉树的节点按层次序编号，对任一层的节点i（1<=i<=n）有:

• 如果i=1，则节点是二叉树的根，无双亲，如果i>1，则其双亲节点为[i/2]，向下取整
• 如果2i>n那么节点i没有左孩子，否则其左孩子为2i
• 如果2i+1>n那么节点没有右孩子，否则右孩子为2i+1

在上图中验证
第一条：
当i=1时，为根节点。当i>1时，比如结点为7，他的双亲就是7/2= 3；结点9双亲为4.
第二条：
结点6,62 = 12>10，所以结点6无左孩子，是叶子结点。结点5，52 = 10，左孩子是10,结点4，为8.
第三条：
结点5，2*5+1>10,没有右孩子，结点4，则有右孩子。

四、二叉树的遍历

1.前序遍历

内容: 前序遍历首先访问根结点然后遍历左子树，最后遍历右子树。在遍历左、右子树时，仍然先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。

前序遍历

2.中序遍历

内容:中序遍历首先遍历左子树，然后访问根结点，最后遍历右子树。在遍历左、右子树时，仍然先遍历左子树，再访问根结点，最后遍历右子树。

中序遍历

3.后序遍历

内容:后序遍历首先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根结点，在遍历左、右子树时，仍然先遍历左子树，然后遍历右子树，最后遍历根结点。

后序遍历