各位看官大家好，我叫宝刀君，是一名将军。

我今年有一个历史重任，就是去迎战一个叫“考研”的敌人，这个敌人下面有四个得力干将：分别是考研数学、考研英语、考研政治、考研专业课。

为了对付这个敌人，尤其是对方手下的天字一号干将：考研数学，我不惜花重金请来了不少的智囊团将领，比如说：洛必达、泰勒、高斯、柯西、拉格朗日、罗尔、费马等等。

其实说真的，我麾下的这些将领很牛逼，他们在各自的研究领域里，都是属于翘楚级的人物，我跟他们比起来，简直弱爆了。

每天跟他们在一起，我都觉得很尴尬，因为他们讨论的问题我压根听不懂，什么拓扑学、复变函数、偏微分方程、群论……等等等等，我一个也不懂。

虽然我自己实力不济，但是依靠我的理想，依靠我的说服力，我将他们拉拢在一起，一起来搞事情。

这一天，我们一班人马一起来到了一个叫“求极限”的城墙门外面。

上面写着：要想取得考研真经，必须经过此关关！

很明显，这是 考研数学 布下的第一道关卡。

派谁去攻克这个城墙呢？

有了，这不刚好来了一个叫洛必达的干将吗？

他就是专门来求解极限题目的，只要是符合他洛必达法则使用条件的，他都可以咔咔咔，直接开干！

我还记得洛必达这小伙当初来我门下时，说过这几点注意事项：

当时洛必达说完，我还很清楚他随手就摆出了一个木牌，上面举着这样一个题：

他怕我们一行人听不懂这个例子，于是又补充道：

其实我是知道他想表明什么意思的，他无非就是想表明这个含义：

当你发现一个题满足使用我洛必达法则的条件，你用了，求解出正确答案了，恭喜！

当你发现一个题满足使用我洛必达法则的条件，你用了，但是求不出来值，那我洛必达认栽，真的很抱歉，我在这个题目上无法施展法力。

换句话说：“我洛必达法则此时失效了”！

虽然如此，但是一般这种情况比较少见，所以我还是会考虑重用洛必达，会给他一口饭吃。

先派他出去迎战吧，看看对方抛来的是什么怪题。

卧槽，一打开一看，竟然是这几道题：

洛必达出去应战了，经过两三招打拼，没想到对方依旧面不改色。

此刻，看到敌方的面貌，作为将军的我，马上意识到：洛必达法则会不堪一击，洛必达法则失效了。

失效，并不意味着敌人消失了（并不意味着待求题目的极限不存在），

失效，意味着我需要重新调兵遣将， 重新派出其他得力干将去迎战！

我的耳边回想起了春秋战国时代孙武将军书中写的一句话：

《孙子·谋攻篇》：“知彼知己，百战不殆；不知彼而知己，一胜一负；不知彼，不知己，每战必殆。”

要想去处理洛必达法则失效情况下的求极限题目，我得首先知道：洛必达法则失效的原因，或者说种类。

常见的失效情况有两类：

什么叫可以验证呢？什么叫无法验证呢？

就是说当我们拿到一个求极限的题目时，一般它的前两条法则都是满足的，只剩下第三条需要我们自己去做个运算处理才能知道，当我们做了第三步分子分母各自分别求导后，发现它求不出来数值，这就叫“可以验证”。如果它求导之后的式子越求越复杂，这时就叫“无法验证”。

显然，现在遇到的 例子2和例子3，发现求导之后题目陷入循环，这是属于可以验证的，例4求导之后越来越复杂，更是无法再继续使用，这没法再继续验证了，只会越用越乱。

怎么办？

这个将领不能用了，那就重新换将领！

无论如何，老子必须过这道关卡！

无论如何，老子必须拿下每一个敌人抛来的问题！

无论如何，老子要想考上研究生，那就必须不能退缩，佛挡杀佛，神挡杀神！

我陷入了沉思中。

提取公因式、分子分母同乘以公共非0因子、倒代换、泰勒公式….一大波其他干将们都在等着我发号施令呢，只要我一声令下，他们都可以随时待命，泰勒确实是很牛逼，只不过这三喽啰，还轮不着让泰勒去动手，算了，派他们两去吧！

一阵刀光剑影，洛必达和他们几个人一起 提着正确答案的人头回来了，并随手附上了正确的解题步骤：

我仔细端详，发现干的还不错！

这时候，我的助理问我：“将军，你说将来正儿八经去迎战考研时，他们会出这种题吗？今天面对的敌人会不会出的太难了、太偏了？”

“这你就不懂了”，我不假思索的答道。

“对方抛来这样一道题目，一方面是想把我们引入歧途，引入反复死磕这类题目中，只可惜，这类题很少出，对方往年出的真题招式我研究过了，根本就没有一上来就随手用洛必达法则做的，一般刚开始都是用什么等价无穷小替换啦、泰勒公式啦、倒代换等等这类干将，然后打着打着，到最后了，发现这时候还可以使用洛必达法则，最后才派洛必达法则去收拾残局的”。

“也就是说，我们不用去下功夫研究洛必达法则失效的情况？”

“对的，不用为难洛必达干将，他虽然有局限性，但是只要是真题的最后若干个步骤，用他来处理还是非常快的”

“那要是派泰勒公式大将军去攻打敌人，泰勒将军要带几个随从啊？（要展开到第几阶啊？）”

“这就是另一个话题了，我之前专门研究过这个问题，要是你忘了的话，可以点击下面这个链接进行查看：利用泰勒公式求极限时，如何确定泰勒公式展开到第几阶？ - 知乎”

助理想了想说：“将军，要不您举个例子？”

可以啊，请看2008年的这道计算题：

助理看完后，表示明白。

这时候，我看了看时间，也不早了，就吩咐助理：经过这一战，大家都很累，随便做点饭菜，让大家吃完后各自回房休息吧，明天继续上路！

哈喽，大家好！我是宝刀君，微信公众号：考研摆渡人宝刀君，ID:BDJ0501，专注考研数学、自动控制原理的辅导，有料、有趣、有深度！

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