计数[球与盒子模型]{分堆问题，名额分配问题，吉祥数问题,不定方程解的个数问题}

（1）某学校派出6名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派1名教师，则不同的分配方法有___种；
（2）6个三好学生名额分配给三所中学，每所中学至少1个名额，则不同的分配方法有___种；
（3）6个三好学生名额分配三所中学，则不同的h配方有___种.
【问题特征】计数问题.
【问题的解答】
（1）思路视教师为“球”，中学为“盒子”，原问题即为不同球放入不同盒问题.
解原问题相当于将6个不同球放入3个不同盒子，每个盒子至少放一个球，求不同放法的种数.
分三类：
（1）将6个不同球平均放入3个不同盒子，分2步完成：第1步，把6个不同球平均分成3堆，有 $\frac{C_{6}^{2} C_{4}^{2} C_{2}^{2}}{A_{3}^{3}}$ 种方法；
第2步，把分成的3堆球放入3个不同的盒子，有 $A_{3}^{3}$ 种方法，
故不同放法的种数为
$N_{1}=\frac{C_{6}^{2} \cdot C_{4}^{2} \cdot C_{2}^{2}}{A_{3}^{3}} \cdot A_{3}^{3}=C_{6}^{2} \cdot C_{4}^{2} \cdot C_{2}^{2}=90$
（2）将6个不同球分成4个，1个，1个放入3个不同盒子，分2步完成，
第1步，把6个不同球分成3堆，1堆4个，其余2堆各1个，有 $\frac{C_{6}^{4} C_{2}^{1} C_{1}^{1}}{A_{2}^{2}}$ 种方法；
第2步，把分成的3堆球放入3个不同的盒子，有 $A_{3}^{3}$ 种方法，
故不同放法的种数为
$N_{2}=\frac{C_{6}^{4} \cdot C_{2}^{1} \cdot C_{1}^{1}}{A_{2}^{2}} \cdot A_{3}^{3}=90$
（3）将6个不同球分成3个，2个，1个放入3个不同盒子，分2步完成：
第1步，把6个不同球分成3堆，1堆3个，1堆2个，1堆1个，有 $C_{6}^{3} C_{3}^{2} C_{1}^{1}$ 种方法；
第2步，把分成的3堆球放入3个不同的盒子，有 $A_{3}^{3}$ 种方法，
故不同放法的种数为
$N_{3}=C_{6}^{3} \cdot C_{3}^{2} \cdot C_{1}^{1}\cdot A_{3}^{3}=360$
因此所有不同放法种数为
$N=N_{1}+N_{2}+N_{3}=540$
即所求的不同的分配方法有540种.

（2）思路1视名额为“球”，中学为“盒子”，原问题即为相同球放入不同盒问题.
解法1 原问题相当于将6个相同球放入3个不同盒子，每个盒子至少放一个球，求不同放法的种数，将6个相同的球排成一行，每相邻两个球之间有一个“空档”，共5个空档，从中选出2个空档，各放一块“隔板”，则每种放法与每一种放“隔板”方法一一对应，所以不同的放法种数就是放“隔板”方法种数.故不同的放法种数为 $C_{5}^{2}=10$ ，即所求的不同的分配方法有10种。
思路2 直接法.
解法2 先给所有中学各一个名额，余下3个名额.
分三类：
（1）余下3个名额分配给一所中学，有3种方法；
（2）余下3个名额分成2个，1个，并分配给其中2所中学，有 $\mathrm{A}_{3}^{2}$ 种方法；
（3）余下3个名额给每所中学各1个，有1种方法，
因此，所求的不同的分配方法的种數为 $N=3+A_{3}^{2}+1=10$ .

（3）思路视名额为“球”，中学为盒子”，原问题即为相同球放入不同盒问题。
解原问题相当于将6个相同球放入3个不同盒子，求不同放法的种数，将6个相同的球与2块相同的“隔板”排成一行，则每种放法与每一种放“隔板”方法--对应，所以不同的放法种数就是“隔板”的放法种数，故不同的放法种数为 $C_{8}^{2}=28$ .即所求的不同的分配方法有28种.
【注意点】
1，不同球入相同盒问题，如果为均匀分堆或部分均匀分堆，则先分后除；如果为不均匀分堆，则只分不除.
2，不同球入不同盒问题，通常的方法是先分堆，再把分成的堆入盒.
3，相同球入不同盒问题，通常用“隔板”法，实质是不定方程的解的个数问题，如本题第（2）、（3）小题实质是求不定方程x+y+2-6的自然数解的个数问题.

【相关问题】
1，某校高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的2个班且每班2名，则不同的安排方案种数为___
【答案与提示】

提示：分2步完成：
（1）将4名学生平均分成2堆有 $\frac{C_{4}^{2} \cdot C_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}$ 种方法；
（2）将分成的2“堆”分给6个班中的2个班，有 $A_{6}^{2}$ 种方法，因此不同的安排方案种数为
$N=\frac{C_{4}^{2} \cdot C_{2}^{2}}{A_{2}^{2}} \cdot A_{6}^{2}=90$

2，如果自然数a的各位数字之和等于8，我们称a为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列a，a2，a，.若a，=2015，则n的值为（）
A.83 B.82 C.39 D.37
【答案与提示】
A.
提示：1位、2位、3位“吉祥数”的个数就是不定方程r+y+z=8的自然数解的个数（x，y，z看作是百位、十位、个位的数字），由“隔板”法，共有 $C_{10}^{2}$ =45个；
千位为1的“吉祥数”的个数就是不定方程x+y+x=7的自然数解的个数（x，y，z看作是百位、十位、个位的数字），由“隔板”法，共有 $C_{9}^{2}=36$ 个；而千位为2的“吉祥数”中最小的2个是2006，2015，所以n=83.