斐波那契数里的一个恒等式

今天「善科题库」发了一篇微博是和斐波那契数有关的，斐波那契数列具备如下优美的性质，你会证明吗？。

这里的 $F_n$ 就是斐波那契数，由 $F_1 = 1,F_2 = 1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$ 定义。即 $\{F_n\}$ 就是 $1,1,2,3,5,8,13,21,34,\dots$ 。

这里要证明的就是
$F_{2n+1} = F_{n}^2+F_{n+1}^2$

我以前读组合数学的书的时候是见过这种式子的，哈哈哈。有一个矩阵的次方里的元素刚好都是斐波那契数，设 $M = \begin{bmatrix} 0 &1\\ 1 &1 \end{bmatrix}$ ，那么会发现 $M^n = \begin{bmatrix} F_{n-1} &F_{n}\\ F_{n} &F_{n+1} \end{bmatrix}$ 。
这个是不难用数学归纳法证明的。然后利用 $M^{2n} = M^n \cdot M^n$ ，对比两边右下角的元素就得到了
$F_{2n+1} = F_{n}^2+F_{n+1}^2$

另外如果我们把刚才的指数换成 $m+n$ ，那么可以得到一个更一般的恒等式，

$F_{m+n+1} = F_{m} F_{n}+F_{m+1} F_{n+1}$

这个公式可以将比较大的 $n$ 对应的 $F_n$ 化成较小的斐波那契数，方便计算。

最后编辑于：2020.03.22 15:34:28

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