1、分治算法思想介绍
分治算法的基本思想是将一个计算复杂的问题分为规模较小，计算简单的小问题求解，然后综合各个小问题，而得到最终问题的答案。分治算法的执行过程如下：
♦对于一个规模为N的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模N较小），则直接解决，否则执行下面的步骤。
♦将该分解为M个规模较小的子问题，这些子问题互相独立，并且与原问题形式相同。
♦递归地解这些子问题。
♦然后，将各子问题的解合并得到原问题的解。
问：一个袋子里有30个硬币，其中一枚是假币，并且假币和真币一模一样，肉眼很难分辨，目前只知道假币比真币重量轻一点。请问如何区分出假币呢? 可以采用递归分治的思想来求解这个问题：
♦首先为每个银币编号，然后可以将所有的银币等分为两分，放在天平的两边。这样就将区分30个硬币的问题，变为区别两堆硬币的问题。
♦因为假银币的分量较轻，因此天平较轻的一侧中一定包含假银币。
♦再将较轻的一侧中的硬银币等分为两分，重复上述的做法。
♦直到剩下2枚硬银币，可用天平直接找出假银币来。
2、分治算法实现 — 寻找假币
程序测试∶
#include <iostream>
using namespace std;
#define MAXNUM 100
// <summary>
// 寻找假币,假设假币更轻。
// </summary>
// <param name="coin">硬币数组</param>
// <param name="low"> 数组最小下标</param>
// <param name="high">数组最大下标</param>
// <returns></returns>
int FalseCoin(int coin[], int low, int high)
{
// 初始化需要的变量
int sum1, sum2, middle;
int result;
sum1 = sum2 = middle = 0;
// 只剩下最后两个硬币了，这也是递归结束的标志。
if (low + 1 == high)
{
if (coin[low] < coin[high])
{
result = low + 1;
return result;
}
if (coin[low] > coin[high])
{
result = high + 1;
return result;
}
if (coin[low] == coin[high])
{
cout << "傻逼！！没有假币" << endl;
return 0;
}
}
// 硬币总数为偶数情况
if ((high - low + 1) % 2 == 0)
{
// 前半段的和
for (int i = low; i <= low + (high - low) / 2; i++)
{
sum1 = sum1 + coin[i];
}
// 后半段的和
for (int i = low + (high - low) / 2 + 1; i <= high; i++)
{
sum2 = sum2 + coin[i];
}
// sum1 > sum2 说明假币在后半段。
if (sum1 > sum2)
{
result = FalseCoin(coin, low + (high - low) / 2 + 1, high);
return result;
}
else if (sum1 < sum2)
{
result = FalseCoin(coin, low, low + (high - low) / 2);
return result;
}
else
{
cout << "傻逼！！没有假币" << endl;
return 0;
}
}
else // 奇数情况
{
// 奇数情况要先去除去除中间位。
// 前半段的和
for (int i = low; i <= low + (high - low) / 2 - 1; i++)
{
sum1 = sum1 + coin[i];
}
// 后半段的和
for (int i = low + (high - low) / 2 + 1; i <= high; i++)
{
sum2 = sum2 + coin[i];
}
// 中间位置的硬币质量
middle = coin[low + (high - low) / 2];
// sum1 > sum2 说明假币在后半段。
if (sum1 > sum2)
{
result = FalseCoin(coin, low + (high - low) / 2 + 1, high);
return result;
}
else if (sum1 < sum2)
{
result = FalseCoin(coin, low, low + (high - low) / 2 - 1);
return result;
}
// 说明中间的硬币是假币
if (sum1 + middle == sum2 + middle)
{
result = low + (high - low) / 2 + 1;
return result;
}
else
{
cout << "傻逼！！没有假币" << endl;
return 0;
}
}
}
int main()
{
int coin[MAXNUM]; // 硬币数组最大为100。
int n = 0; // 硬币的数量。
cout << "分治算法求解假的银币问题!" << endl;
cout << "请输入硬币的数量：";
cin >> n;
if (n == 1)
{
cout << "有病是吧，一个硬币判断个屁！！" << endl;
return 0;
}
cout << "请输入每个硬币的质量：" << endl;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
cout << "第" << i + 1 << "个：";
cin >> coin[i];
}
int result = FalseCoin(coin, 0, n - 1);
cout << "第" << result << "个为假币！！" << endl;
return 0;
}
运行结果
分治算法求解假的银币问题!
请输入硬币的数量：13
请输入每个硬币的质量：
第1个：2
第2个：2
第3个：2
第4个：2
第5个：2
第6个：2
第7个：2
第8个：2
第9个：2
第10个：1
第11个：2
第12个：2
第13个：2
第10个为假币！！
