1、叉乘-数学解释
向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛,通常应用于物理学光学和计算机图形学中。
叉乘是三维设计和游戏开发的底层最简单逻辑,计算机从业者都应用理解叉乘。
2维空间中的叉乘是
看起来像个标量,事实上叉乘的结果是个向量,方向在z轴上。我们来做一个推导,我们可以来尝试计算一下两个向量围成的平行四边形的面积,其实可以求向量围成的三角形的面积。我们知道面积是底*高,所有推导如下:
设:
我找到向量A',使得A⟂A',
也就出现了
也就是
就有如下推导:
这个推导不是很容易直接看懂,我来解释一下,首先是A’是如何求得的,这非常简单,但是我们程序员可能忘了:
a,b是两个向量:a=(a1,a2) b=(b1,b2)
a垂直b:a1b1+a2b2=0
由此可以得到A’,然后是|A|=|A`|,因为是垂直关系,向量的膜肯定是相等的啊,然后就是
这是其实更加简单直接查询点积公式即:
同样的后面的利用点积代数定义:
很容易就得出结论,这个说的这样细致,就是因为我们程序员可能很久不碰数学了,这个推导对于高中生是非常简单的。好了,展示:
继续说叉乘:
叉乘不是面积,叉乘的膜才是面积,严格来说,叉乘是有向面积,正负代表了面积的方向。好像这样没什么意思啊,计算面积没有简化都少啊,来看三维向量。
3维空间中的叉乘是:
这里涉及到行列式的计算,后面在说明,我们来看一下结合意义
不难发现,在3D图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系,所以上面描述的有方向的面积现在应该明白了,因为二维向量的法向量其实就是Z轴,我们把二维向量补齐成三维向量计算,a=(a1,a2,0) b=(b1,b2,0) 发现结果为(0,0,a1b2-a2b1)的一个平行于Z轴的向量。
2、叉乘-程序应用
P1(-1,0,1)、P2(0,2,2)、P3(0,-1,2)三个点正好可以围成一个三角形,这三角形的面积是多少?
import numpy as np
# 构建点
P1 = np.array([-1, 0, 1])
P2 = np.array([0, 2, 2])
P3 = np.array([0, -1, 2])
# A和B两个向量尾部相连
A = P3 - P1
B = P3 - P1
# 计算叉乘
A_B = np.cross(A, B)
# 计算叉乘的膜
AB_mo = np.linalg.norm(A_B)
# 计算面积
Area = AB_mo / 2
print("三角形的面积为:", Area)
三角形的面积为: 2.1213203435596424
已知四个点p1(2,0,0),p2(1,0,2),p3(-1,0,0),p4(2,5,0)可以构成平行四面体,求它的体积?
这个题目我们利用小学的知识一样可以解决,但是如何利用程序的方式去解决?我们不可能让计算机自己画图,然后低乘高吧,而且如果四面体的所有面全部平行四边形(没有90度的角),我们即使绘图也是不容易求解的。所以,展示:
空间向量A,B,C组成平行6面体的三条邻边,H是高,我们知道向量的叉乘的模是面积,所以底面积就是|B×C|,关键看H如何表示,我们设i为H方向的单位向量,则:
这里参考点积公式
即可明白一个向量点积一个单位向量,结果为这个单位向量方向上的投影。继续展示:
得到:
接着展示:
import numpy as np
# 构建点
P1 = np.array([2, 0, 0])
P2 = np.array([1, 0, 2])
P3 = np.array([-1, 0, 0])
P4 = np.array([2, 5, 0])
# 构建向量,以P1为原点
A = P2 - P1
B = P4 - P1
C = P3 - P1
# 计算叉乘
A_B = np.cross(B, C)
# 计算点积
volume = np.inner(A, A_B)
print("四点围成的体积:", volume)
四点围成的体积: 30