1、叉乘-数学解释
向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛，通常应用于物理学光学和计算机图形学中。
叉乘是三维设计和游戏开发的底层最简单逻辑，计算机从业者都应用理解叉乘。
2维空间中的叉乘是
看起来像个标量，事实上叉乘的结果是个向量，方向在z轴上。我们来做一个推导，我们可以来尝试计算一下两个向量围成的平行四边形的面积，其实可以求向量围成的三角形的面积。我们知道面积是底*高，所有推导如下：
设：
我找到向量A',使得A⟂A',
也就出现了
也就是
就有如下推导：
这个推导不是很容易直接看懂，我来解释一下，首先是A’是如何求得的，这非常简单，但是我们程序员可能忘了：
a,b是两个向量：a=（a1,a2） b=（b1,b2）
a垂直b：a1b1+a2b2=0
由此可以得到A’,然后是|A|=|A`|,因为是垂直关系，向量的膜肯定是相等的啊，然后就是
这是其实更加简单直接查询点积公式即：
同样的后面的利用点积代数定义：
很容易就得出结论，这个说的这样细致，就是因为我们程序员可能很久不碰数学了，这个推导对于高中生是非常简单的。好了，展示：
继续说叉乘：
叉乘不是面积，叉乘的膜才是面积，严格来说，叉乘是有向面积，正负代表了面积的方向。好像这样没什么意思啊，计算面积没有简化都少啊，来看三维向量。
3维空间中的叉乘是：
这里涉及到行列式的计算，后面在说明，我们来看一下结合意义
不难发现，在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系，所以上面描述的有方向的面积现在应该明白了，因为二维向量的法向量其实就是Z轴，我们把二维向量补齐成三维向量计算，a=（a1,a2,0） b=（b1,b2,0） 发现结果为(0,0,a1b2-a2b1)的一个平行于Z轴的向量。
2、叉乘-程序应用
P1(-1,0,1)、P2(0,2,2)、P3(0,-1,2)三个点正好可以围成一个三角形，这三角形的面积是多少？
import numpy as np
# 构建点
P1 = np.array([-1, 0, 1])
P2 = np.array([0, 2, 2])
P3 = np.array([0, -1, 2])
# A和B两个向量尾部相连
A = P3 - P1
B = P3 - P1
# 计算叉乘
A_B = np.cross(A, B)
# 计算叉乘的膜
AB_mo = np.linalg.norm(A_B)
# 计算面积
Area = AB_mo / 2
print("三角形的面积为：", Area)
三角形的面积为： 2.1213203435596424
已知四个点p1(2,0,0),p2(1,0,2),p3(-1,0,0),p4(2,5,0)可以构成平行四面体，求它的体积？
这个题目我们利用小学的知识一样可以解决，但是如何利用程序的方式去解决？我们不可能让计算机自己画图，然后低乘高吧，而且如果四面体的所有面全部平行四边形(没有90度的角)，我们即使绘图也是不容易求解的。所以，展示：
空间向量A，B，C组成平行6面体的三条邻边，H是高，我们知道向量的叉乘的模是面积，所以底面积就是|B×C|，关键看H如何表示，我们设i为H方向的单位向量，则：
这里参考点积公式
即可明白一个向量点积一个单位向量，结果为这个单位向量方向上的投影。继续展示：
得到：
接着展示：
import numpy as np
# 构建点
P1 = np.array([2, 0, 0])
P2 = np.array([1, 0, 2])
P3 = np.array([-1, 0, 0])
P4 = np.array([2, 5, 0])
# 构建向量，以P1为原点
A = P2 - P1
B = P4 - P1
C = P3 - P1
# 计算叉乘
A_B = np.cross(B, C)
# 计算点积
volume = np.inner(A, A_B)
print("四点围成的体积：", volume)
四点围成的体积： 30
