原文链接：http://www.cnblogs.com/cv-pr/p/7081861.html
Softmax回归用于处理多分类问题，是Logistic回归的一种推广。这两种回归都是用回归的思想处理分类问题。这样做的一个优点就是输出的判断为概率值，便于直观理解和决策。下面我们介绍它的原理和实现。
1.原理
a.问题
考虑K
类问题，假设已知训练样本集D的n个样本{(xi,ti)|i=1,...,n}，其中，xi∈Rd为特征向量，ti
为样本类别标签，和一般而分类问题不同，Softmax回归采用了标签向量来定义类别，其定义如下：
ti=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜0⋮1⋮0⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟0⋮k⋮K
-------------------（1）
标签向量为0 − 1的K
维向量,若属于k类,则向量的k
分量为1,其他分量均为0
为计算每个样本的所属类别概率，首先定义回归函数：
p(Ck|x)=exp(wTkx)∑Kk=1exp(wTkx)
-------------------（2）
其中wk
为第k类的回归参数。根据回归函数，样本xi
的概率：
p(xi|w1,...,wK)=∏Kk=1p(Ck|x)tik
-------------------（3）
其中,ti=(ti1,...,tik,...,tiK)T
为x
的标签向量。
我们的目标是：估计回归参数w1,...,wK
。用什么办法呢，极大似然估计法。
b.算法
i)构造目标函数
我们采用极大似然法估计回归参数w1,...,wK
。我们的目标是期望所有样本的获得概率最大化，因此构造如下似然函数：
(P(D|w1,...,wK)=1n∏ni=1∏Kk=1p(Ck|x)tik
-------------------（4）
为了计算方便，对以上似然函数取负对数，将问题转化为最小化问题，从而最优化问题的目标函数为：
minw1,...,wKE(w1,...,wK)
-------------------（5）
其中
E(w1,...,wK)=1n∑ni=1∑Kk=1tiklnp(Ck|x)
ii)梯度下降法
求解算法许多，这里我们考虑采用梯度下降迭代法，主要解决梯度和步长的问题，第k
个回归参数wk
的更新迭代公式如下：
wnewk=woldk−λ∂E∂wk
-------------------（6）
其中λ
步长，即学习率，∂E∂wk为关于wk
的梯度，具体计算公式如下：
∂E∂wk=−1n[∑ni=1(tik−P(Ck|xi))xi]
-------------------（7）
对梯度加入权重因此会获得更好的效果，因此（2）可改进为：
∂E∂wk=−1n[∑ni=1(tik−P(Ck|xi))xi]+λwk
-------------------（8）
梯度技巧提示：求解单个分量的梯度，然后在整合成向量表示形式。
提示：梯度求解需要复合梯度求导，对数求导以及xx+a
的求导，例如:
链式求导法则：若h(x)=f(g(x))
，则h′(x)=f′(g(x))g′(x)
对数：lnx′=1x
分数：(xx+a)′=a(x+a)2
2.实现
我们将根据公式（2）和（8），利用python实现Softmax回归。先看随着迭代，精度变化的趋势图，如下图所示：
精度在迭代开始不久就收敛到很好的结果，但后期会出现较大的波动，可见其收敛并不理想，要达到90%的精度，就需要更久的迭代次数了，比如十万次迭代等。改进的手段是改进特征的描述。深度学习就可以很好的学习特征的算法。
最后贴上码农最爱的代码（修改自《python 实现 softmax分类器（MNIST数据集）》）：
# encoding=utf8
'''
Created on 2017-7-1
@author: Administrator
'''
import random
import time
import math
import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn.model_selection import train_test_split as ttsplit
from sklearn.metrics import accuracy_score as eva_score
from matplotlib import pyplot as plt
class SoftMaxRegression(object):
'''
Softmax回归分类器
'''
def __init__(self, learning_step=0.000001 ,max_iteration=100000,weight_lambda=0.01,iseva = True):
'''
构造函数
'''
self.learning_step = learning_step # 学习速率
self.max_iteration = max_iteration # 最大迭代次数
self.weight_lambda = weight_lambda # 衰退权重
self.iseva = iseva # 是否评估
def cal_e(self,x,l):
'''
计算指数：exp(wx)
'''
theta_l = self.w[l]
product = np.dot(theta_l,x)
return math.exp(product)
def cal_probability(self,x,k):
'''
计算样本属于第k类的概率，对应公式（2）
'''
molecule = self.cal_e(x,k)
denominator = sum([self.cal_e(x,i) for i in range(self.K)])
return molecule/denominator
def cal_partial_derivative(self,x,y,k):
'''
计算第k类的参数梯度，对应公式（8）
'''
first = int(y==k) # 计算示性函数
second = self.cal_probability(x,k) # 计算后面那个概率
return -x*(first-second) + self.weight_lambda*self.w[k]
def predict_(self, x):
'''
预测测试样本
'''
result = np.dot(self.w,x)
row, column = result.shape
# 找最大值所在的列
_positon = np.argmax(result)
m, n = divmod(_positon, column)
return m
def train(self, features, labels, test_features=None, test_labels=None):
'''
训练模型
'''
self.K = len(set(labels))
self.w = np.zeros((self.K,len(features[0])+1))
time = 0
self.score = []
while time < self.max_iteration:
#print('loop %d' % time)
time += 1
index = random.randint(0, len(labels) - 1)
x = features[index]
y = labels[index]
x = list(x)
x.append(1.0)
x = np.array(x)
#计算每一类的梯度
derivatives = [self.cal_partial_derivative(x,y,k) for k in range(self.K)]
for k in range(self.K):
self.w[k] -= self.learning_step * derivatives[k]#负梯度为下降最快的方向
if self.iseva == True and time%1000 == 0:
self.acc_score(test_features, test_labels)
return self.score
def predict(self,features):
'''
预测测试样本集
'''
labels = []
for feature in features:
x = list(feature)
x.append(1)
x = np.matrix(x)
x = np.transpose(x)
labels.append(self.predict_(x))
return labels
def acc_score(self,test_features,test_labels):
'''
评估精度
'''
label_predict = self.predict(test_features)
predict_score = eva_score(test_labels, label_predict)
print predict_score
self.score.append(predict_score)
if __name__=='__main__':
print("Import data")
raw_data = pd.read_csv('../data/train.csv', header=0)
data = raw_data.values
imgs = data[0::, 1::]
labels = data[::, 0]
train_features, test_features, train_labels, test_labels = ttsplit(
imgs, labels, test_size=0.33, random_state=23323)
print train_features.shape
print test_features.shape
print("Training model")
learning_step = 0.000001 # 学习速率
max_iteration = 100000 # 最大迭代次数
weight_lambda = 0.01 # 衰退权重
iseva = True # 是否评估
smr = SoftMaxRegression(learning_step,max_iteration,weight_lambda,iseva)
scores = smr.train(train_features, train_labels,test_features,test_labels)
print scores
#print("Predicting model")
#test_predict = smr.predict(test_features)
#print("Envaluate model")
#score = accuracy_score(test_labels, test_predict)
#print("The accruacy socre is " + str(score))
print("Plot accuracy")
idx = range(len(scores))
plt.plot(idx,scores,color="b",linewidth= 5)
plt.xlabel("iter",fontsize="xx-large")
plt.ylabel("accuracy",fontsize="xx-large")
plt.title("Test accuracy")
plt.legend(["testing accuracy"],fontsize="xx-large",loc='upper left');
plt.show()
请参考推导及伪代码：softmax的简单推导和python实现
3.参考资料
[1].DeepLearning之路（二）SoftMax回归
Make Change - Focus on Computer Vision and Pattern Recognition
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