向量
向量性质
维向量表示为
向量
也可表示成仅有一列行矩阵
![\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{V_{1}} \\ {V_{2}} \\ {\vdots} \\ {V_{n}}\end{array}\right]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cmathbf%7Bv%7D%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%7BV_%7B1%7D%7D%20%5C%5C%20%7BV_%7B2%7D%7D%20%5C%5C%20%7B%5Cvdots%7D%20%5C%5C%20%7BV_%7Bn%7D%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
![\mathbf{v}^{T}=\left[\begin{array}{llll}{V_{1}} & {V_{2}} & {\cdots} & {V_{n}}\end{array}\right]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cmathbf%7Bv%7D%5E%7BT%7D%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bllll%7D%7BV_%7B1%7D%7D%20%26%20%7BV_%7B2%7D%7D%20%26%20%7B%5Ccdots%7D%20%26%20%7BV_%7Bn%7D%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
维向量的绝对值是标量
内积
两个维向量
和
的内积是一个标量，定义：
向量和的内积
的矩阵乘法：
![\mathbf{P}^{\mathrm{T}} \cdot \mathbf{Q}=\left[\begin{array}{llll}{P_{1}} & {P_{2}} & {\cdots} & {P_{n}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{P_{1}} \\ {P_{2}} \\ {\vdots} \\ {P_{n}}\end{array}\right]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cmathbf%7BP%7D%5E%7B%5Cmathrm%7BT%7D%7D%20%5Ccdot%20%5Cmathbf%7BQ%7D%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bllll%7D%7BP_%7B1%7D%7D%20%26%20%7BP_%7B2%7D%7D%20%26%20%7B%5Ccdots%7D%20%26%20%7BP_%7Bn%7D%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%7BP_%7B1%7D%7D%20%5C%5C%20%7BP_%7B2%7D%7D%20%5C%5C%20%7B%5Cvdots%7D%20%5C%5C%20%7BP_%7Bn%7D%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
内积与向量和的夹角有关
Cauchy-Schwarz不等式
向量投影
向量在向量上的投影
可表示为
向量相对于向量上的垂直分量
可表示为
向量在向量上的投影是向量的线性变换，可以表示成矩阵向量乘积。在三维情况下
计算为
![\text{proj}_{Q} \mathbf{P}=\frac{1}{\|\mathbf{Q}\|^{2}} \left[\begin{array}{ccc}{Q_{x}^{2}} & {Q_{x} Q_{y}} & {Q_{x} Q_{z}} \\ {Q_{x} Q_{y}} & {Q_{y}^{2}} & {Q_{y} Q_{z}} \\ {Q_{x} Q_{z}} & {Q_{y} Q_{z}} & {Q_{z}^{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{P_{x}} \\ {P_{y}} \\ {P_{z}}\end{array}\right]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Ctext%7Bproj%7D_%7BQ%7D%20%5Cmathbf%7BP%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5C%7C%5Cmathbf%7BQ%7D%5C%7C%5E%7B2%7D%7D%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%7BQ_%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D%20%26%20%7BQ_%7Bx%7D%20Q_%7By%7D%7D%20%26%20%7BQ_%7Bx%7D%20Q_%7Bz%7D%7D%20%5C%5C%20%7BQ_%7Bx%7D%20Q_%7By%7D%7D%20%26%20%7BQ_%7By%7D%5E%7B2%7D%7D%20%26%20%7BQ_%7By%7D%20Q_%7Bz%7D%7D%20%5C%5C%20%7BQ_%7Bx%7D%20Q_%7Bz%7D%7D%20%26%20%7BQ_%7By%7D%20Q_%7Bz%7D%7D%20%26%20%7BQ_%7Bz%7D%5E%7B2%7D%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%7BP_%7Bx%7D%7D%20%5C%5C%20%7BP_%7By%7D%7D%20%5C%5C%20%7BP_%7Bz%7D%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
外积
两个三维向量和的外积仍是一个三维向量，定义：
)
伪行列式计算向量外积：
-%5Cmathbf%7Bj%7D%5Cleft(P_%7Bx%7D%20Q_%7Bz%7D-P_%7Bz%7D%20Q_%7Bx%7D%5Cright)%2B%5Cmathbf%7Bk%7D%5Cleft(P_%7Bx%7D%20Q_%7By%7D-P_%7By%7D%20Q_%7Bx%7D%5Cright)%20%5Cend%7Baligned%7D)
外积
也写成矩阵与向量乘积的形式：
![\mathbf{P} \times \mathbf{Q}=\left[\begin{array}{ccc}{0} & {-P_{z}} & {P_{y}} \\ {P_{z}} & {0} & {-P_{x}} \\ {-P_{y}} & {P_{x}} & {0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{Q_{x}} \\ {Q_{y}} \\ {Q_{z}}\end{array}\right]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cmathbf%7BP%7D%20%5Ctimes%20%5Cmathbf%7BQ%7D%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%7B0%7D%20%26%20%7B-P_%7Bz%7D%7D%20%26%20%7BP_%7By%7D%7D%20%5C%5C%20%7BP_%7Bz%7D%7D%20%26%20%7B0%7D%20%26%20%7B-P_%7Bx%7D%7D%20%5C%5C%20%7B-P_%7By%7D%7D%20%26%20%7BP_%7Bx%7D%7D%20%26%20%7B0%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%7BQ_%7Bx%7D%7D%20%5C%5C%20%7BQ_%7By%7D%7D%20%5C%5C%20%7BQ_%7Bz%7D%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
令两个向量和为三维向量，则%20%5Ccdot%20%5Cmathbf%7BP%7D%3D0)
，而且%20%5Ccdot%20%5Cmathbf%7BQ%7D%3D0)
。
%20%5Ccdot%20%5Cmathbf%7BR%7D)
的值计算方式：
%20%5Ccdot%20%5Cmathbf%7BR%7D%3D%5Cleft%7C%5Cbegin%7Barray%7D%7Blll%7D%7BP_%7Bx%7D%7D%20%26%20%7BP_%7By%7D%7D%20%26%20%7BP_%7Bz%7D%7D%20%5C%5C%20%7BQ_%7Bx%7D%7D%20%26%20%7BQ_%7By%7D%7D%20%26%20%7BQ_%7Bx%7D%7D%20%5C%5C%20%7BR_%7Bx%7D%7D%20%26%20%7BR_%7By%7D%7D%20%26%20%7BR_%7Bx%7D%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%7C)
向量的外积不满足交换律)
外积的大小与向量和的夹角
之间的关系如下：
向量空间
向量属于一个被称为向量空间的集合。
定义 向量空间是一个集合，该集合的元素都是向量，定义了加法和标量乘法，则以下性质成立。
- 集合对加法运算封闭，即集合中的任意向量和，他们的和
也是集合的向量。
- 集合对标量乘法运算封闭，即对于任意实数
和集合中的任意向量，他们的积
也是集合的向量。
- 集合中存在
向量，对于集合中的任意向量，
成立。
- 对于集合中的任意向量，在集合中存在向量，使
成立。
- 集合中的向量满足结合律，即对于集合中的任意向量、和
，%2BR%3DP%2B(Q%2BR))
。
- 标量乘法满足结合律，即对于任意实数和
，以及集合中的任意向量，P%3Da(bP))
成立。
- 标量与向量和的乘法满足分配律，即对于任意实数，以及集合中的任意向量和，
%3DaP%2BaQ)
成立。
- 标量与向量的乘法满足分配律，即对于任意实数和，以及集合中的任意向量，
P%3DaP%2BbP)
成立。
由实数组成的元组形式的向量都满足这些性质。包含全部元组形式的向量的向量空间表示为
，例如，包含所有三维向量的向量空间可表示为
。
Gram-Schmidt 正交化
维向量空间的基
通过以下等式可构造一个新的正交向量集合
而正交化。
- 令
- 令
- 从向量
中减去在向量
上的投影，结果保存在
中，即
- 如果
，
加一，转到步骤(3)。
