根据3blue1brown视频的整理与思考。
首先理解为什么要用Taylor series？
是为了更方便地去拟合一些比较复杂的公式，这里的假设就是，一般的多项会比大多数奇怪的比如带sin，cos的function更加简单。
例子1：这里用的一个例子是如何去拟合一个cos(x)的式子。
我们的目标是用一个二次多项式去做这个拟合，那么目标的式子是
去拟合cos(x) = 0，这里可以看三样东西：
1. 首先我们确定起点是一样的：cos（0）时的y值 = 1， 所以当P(0)=c0 = 1， 所以c0 = 1
2. 其次我们确定起点的斜率是一样的：cos（0）时的tangent = 0，所以对于P(x）做一阶求导，可以知道
P'(0) = c1+2c2(0) = 0, 所以c1=0
3. 在确定了x=0时的值和斜率之后，我们对两边的值也做拟合，这个时候是通过二阶求导完成的，所以c2 = -0.5
然后来验证一下这个拟合在x值较小时的效果，当x = 0.1时：
所以在这一部分的小总结是：
constant的值负责原点一样，x对应的常项确定了原点的斜率一样，x2对应的则是当时的rate of change of tangent一样
那么如果我们想要用更多的polynomial terms去拟合这个cos（x)：
比如如果最高次是3：也就是同时对于cos（x)和理想的这个多项式做三次求导，结果发现对于x^3的常项应该是0，这也就是说明了我们之间得到的那个二次的式子，不仅是二次中的最佳拟合，也是三次的最佳拟合。
进一步，如果最高次是4：
同样的，两边式子都做四次求导，得到的对应常量是1/24, 这个值再一次提升了拟合的准确度，可以发现超级接近了。
实际运用：这个式子会超准：
通过这个例子：可以产生两个重要的insights:
1. 一个比较general的公式，就是对于对于的高次常量：非常自然地引入了factorial。
这也就是我们在最后的例子中看到的：4次对应的1/24，是对应被拟合的式子的4次求导结果，去除以4的factorial。
2. 为了更完美地拟合而加入的高次项，对于之前的结果并不产生影响
这个的原因是，在较低次的求导中，较高次项对应的x=0，所以不受影响
一个general的总结：
Taylor series的本质，可以理解为，通过围绕一个点所产生的关于derivative的信息，去对于整个式子的预测。
cos的多次derivative是有一个1，0，-1，0的周期性的，所以最后的polynomial是这样的情景。
而更加general，推及到其他的式子，我们可以产生这样的一个公式。
再进一步，我们也未必需要再原点通过关于derivative的信息去推一个拟合的式子，而是任何一个点，那么公式就会是这样的。总之，越多项，拟合约接近，但是tradeoff就是越来越复杂。
一个比较特殊的例子是e的x次方，因为derivative一直都是自己，所以导致了这样的拟合polynomial。
