PCA是无监督数据降维方式，目的是将一个高维数据集转换为一个低维数据集。如今我们的数据集往往有成百上千维的特征，但并不是所有的特征都很重要，通过降维，去除那些不重要的特征。数据维度的降低了，同时计算机的运算效率也得到了提升。在人工智能技术刚起步的时候，人们关注的焦点在于算法的准确性，通过不断优化算法中的计算参数，来提高运算结果的准确率。今天，随着存储与通信技术的发展，数据规模变得空前的庞大，所以运算效率变成了我们不得不考虑的问题。
假如我们有一份医患数据集，该数据集有许多患者特征，如：年龄、性别、身高、体重、职业、家庭住址、联系方式、身份证号、银行卡号、血压、血糖、心率、视力等一些列特征。这份数据集涉及到了患者的诸多隐私，是不能随便向外公开的。传统的方法是对该数据集进行匿名化处理，如将患者姓名用一串数字表示。但是在今天，通过多方面的数据匹配，仍然可以匹配出具体的患者。这时候数据降维技术就可以派上用场了，假设在降维之前，我们每一位患者有20个特征，我们的目标是把数据降到两维。这里降维不是去掉其中18个特征，保留剩下的两个特征，而是通过对20个特征进行压缩，将数据压缩成2维。降维前这20个特征，每一个都有其具体的实际含义，降维后的这两个特征是不可解释的，此时我们任何人都看不出来它的实际含义。如果我们要公开一些涉及到个人信息安全的数据集，那么在公开之前，就必须对数据集做处理。
之前我们讨论过PCA降维，整个过程我们采用的是Python的Numpy库（线性代数中的矩阵计算）来进行的，整个过程如下：
1.数据的标准化处理 - 去均值
2.计算协方差矩阵
3.计算特征向量与特征值
4.根据特征值的大小，选择前k个特征向量组成一个新的特征矩阵
5.原始数据与新的特征矩阵相乘
机器学习sklearn库直接为我们提供了PCA模块，我们可直接调用该模块对原始数据进行处理，更加简单方便。下面我们对PCA算法进行一个详细的说明。
PCA的API文档
sklearn.decomposition.PCA(n_components=None,
copy=True, whiten=False, svd_solver=’auto’,
tol=0.0, iterated_power=’auto’, random_state=None)
PCA算法中的参数说明，这里对官方的英文文档做一个翻译：
- n_components：要保留的成分数量，其值类型可以设为整型，浮点型，字符串。如果不指定该值，n_components == min(n_samples, n_features)；如果n_components == 'mle'，并且svd_solver == 'full'，则使用Minka’s MLE方法估计维度。当0 < n_components < 1时，并且svd_solver == 'full'时，方差值必须大于n_components，如果 n_components == 'arpack'，则n_components必须严格的等于特征与样本数之间的最小值。
- copy：默认为True值
- whiten:默认为False
- svd_solver：字符型数值，默认为auto，其余可选值有：full,arpack,randomized。算法根据数据的规模以及n_components来自动选择合适的参数。
PCA的算法属性
- components_：特征变换空间（特征矩阵），根据我们指定的n_components = k的值，选择方差最大的k个值所对应的的特征向量组成的特征矩阵。
- explained_variance_：n_components所对应的的方差。
- explained_variance_ratio_：不同特征方差的占比。
- singular_values_ :特征值，与前面的特征向量conponents_是一一对应的。
样例的演示
我们使用sklearn自带的数据集boston（波士顿地区房价数据集），该数据集有506个样本，13个特征，像房屋面积，区位，卧室数量等等以及价格（标签值）。pca是一种无监督降维算法，所以我们不使用价格数据。下面是pca的代码实现过程：
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn import datasets
boston_house_price = datasets.load_boston()#导入boston房价数据集
X = boston_house_price .data#获取特征数据
#第一步，对数据进行标准化处理
X_std = StandardScaler().fit_transform(X)
#实例化PCA
pca = PCA(n_components = 3)
#训练数据
pca.fit(X_std)
#使用PCA的属性查看特征值
pca.singular_values_
array([55.6793095 , 26.93022859, 25.07516773])
#使用PCA的属性查看特征值对应的特征向量
pca.components_
array([[ 0.2509514 , -0.25631454, 0.34667207, 0.00504243, 0.34285231,
-0.18924257, 0.3136706 , -0.32154387, 0.31979277, 0.33846915,
0.20494226, -0.20297261, 0.30975984],
[-0.31525237, -0.3233129 , 0.11249291, 0.45482914, 0.21911553,
0.14933154, 0.31197778, -0.34907 , -0.27152094, -0.23945365,
-0.30589695, 0.23855944, -0.07432203],
[ 0.24656649, 0.29585782, -0.01594592, 0.28978082, 0.12096411,
0.59396117, -0.01767481, -0.04973627, 0.28725483, 0.22074447,
-0.32344627, -0.3001459 , -0.26700025]])
#对原始的数据集进行转换
new_data = X.dot(pca.components_.T)
print(new_data[:10])#打印出转换后的前十行数据做一个观察
array([[ 38.89018107, 32.93532391, -51.87396066],
[ 33.02343232, 54.79866941, -71.20799688],
[ 26.53873512, 48.76840918, -67.85363879],
[ 12.75698667, 47.78351826, -72.33882223],
[ 15.65240562, 50.77871883, -73.70920814],
[ 17.71686561, 51.4336294 , -73.35783472],
[ 51.22331968, 29.63835929, -51.11003359],
[ 62.1527616 , 38.52240664, -53.72636333],
[ 68.87661773, 36.34017288, -53.90249412],
[ 60.21849172, 32.80458593, -50.06565433]])
#此时的数据，我们就不知道它具体代表的什么含义了
图形化PCA降维前后的数据对比
我们用sklearn中iris花数据集来举例，该数据集有四个特征，花萼长度、花萼宽度、花瓣长度、花瓣宽度，下面是画图过程的代码实现。
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from sklearn import datasets
from sklearn.decomposition import PCA
# import some data to play with
iris = datasets.load_iris()
X = iris.data[:, :2] # we only take the first two features.
y = iris.target
x_min, x_max = X[:, 0].min() - .5, X[:, 0].max() + .5
y_min, y_max = X[:, 1].min() - .5, X[:, 1].max() + .5
plt.figure(2, figsize=(8, 6))
plt.clf()
# Plot the training points
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap=plt.cm.Set1,
edgecolor='k')
plt.xlabel('Sepal length')
plt.ylabel('Sepal width')
plt.xlim(x_min, x_max)
plt.ylim(y_min, y_max)
plt.xticks(())
plt.yticks(())
# To getter a better understanding of interaction of the dimensions
# plot the first three PCA dimensions
fig = plt.figure(1, figsize=(8, 6))
ax = Axes3D(fig, elev=-150, azim=110)
X_reduced = PCA(n_components=3).fit_transform(iris.data)
ax.scatter(X_reduced[:, 0], X_reduced[:, 1], X_reduced[:, 2], c=y,
cmap=plt.cm.Set1, edgecolor='k', s=40)
ax.set_title("First three PCA directions")
ax.set_xlabel("1st eigenvector")
ax.w_xaxis.set_ticklabels([])
ax.set_ylabel("2nd eigenvector")
ax.w_yaxis.set_ticklabels([])
ax.set_zlabel("3rd eigenvector")
ax.w_zaxis.set_ticklabels([])
plt.show()
降维前，我们选取了iris数据集中的两个特征sepal length（花萼长度）和sepal width（花萼宽度）来绘制数据分布，由图可以看出，数据集中有三种花，但是三者相互混杂，难以区分清楚。
iris数据集本有4个特征，这时我们采用pca算法，将4维数据变化为3维。从图中的结果可以看出，经过变换后，三种类别区分的更加清楚了。
PCA降维小结
1.实现过程有两种：Python的Numpy库；SKlearn的PCA模块，两者的计算结果是相同的。
2.数据降维的结果不一定都是好的，所以在解决实际问题，要同时计算降维前与降维后的结果，进行比较。
3.降维后的数据是不可解释的，但不影响最终的计算结果。
