自由，是一个修饰词，与约束相对。
在代数结构中，就是除了各种公理外，没有别的限制。最常见的就是自由群，单生成子自由群就是整数加法群，也就是单位元0和生成子1所构成的群｛...，-1，0,1,2,3，...｝。
自由幺半群，monoid。可以通过通用映射性质，ump来表述这种自由性。使用通用映射性质表述一个结构，其基本语法结构是给出一个结构，如果对于任意的***，存在唯一的***，使得图***交换，那么这个结构就满足了所定义的性质。
对于自由幺半群的例子，就是给定的函数i：A——>|M(A)|，如果对任意的幺半群N以及任意的函数f：A——>N，存在唯一的幺半群同态f^hat：M(A)——>N，使图交换。那么经由这个函数得到的M(A)就是自由幺半群。
抽象的讲其实也没什么意思，来考虑一些具体的东西，自由往往是伴随着生成的过程，因为各种自由结构本身是很复杂的，一般都包含无限多的对象，这种自由反映在运算的无限可进行性，每进行一次生成一个新元素，比如前面给出的整数加法群，生成元1可以无限的自加，而且所得到的元素没有一个是重复的，我们还可以接着考虑二生成元的情形，1和i，得到的是高斯整数加法群，也就是复平面上的整数格点，在两个方向上的无限生成。
于是，考虑生成子与关系的表示法，通过生成子构造出庞大的自由结构，然后通过定义额外的关系来消除多余的元素，就可以定义出有限的结构。这种表示法在群论中经常使用。对于别的代数结构，流程应该还是一样的。
然后是通用映射性质，反映的是，自由结构是在更基础的结构上构造的，比如自由幺半群，自由群，是在特定集合上构成的，集合在代数上显然比群和幺半群要基础。仿照着，就得到了自由范畴的定义，范畴其实可以视为特殊的有向图，因为范畴和有向图都是一些点和箭头构成的，不同的是，范畴需要满足额外的公理，比如复合运算，恒等元。于是，可以考虑在通过有向图构造出自由范畴。
有向图的一些基本知识，在数据结构中了解过，包括顶点，边，边又有起点和终点。对比范畴中的元素，就可以将顶点视为对象，边视为箭头，起点，终点就是箭头的定义域和陪域。于是，只要定义复合运算和恒等元，就可以得到范畴了。
同样使用ump来表述，会发现，这个图和上面的那个非常像，这也是ump表述的好处了，可以轻而易举的将定义从一种结构迁移到另一种结构。只需要给出很少的信息，就可以定义极大的一类具有特定性质的对象，就像自由性，就是一个箭头，和一个箭头三角，包含的对象，一个是自由对象，一个特定结构对象，一个比特定结构更基础的对象。
这里其实还包括一个函子，遗忘函子，作用就是面向对象中的向上造型，将一个高级的对象转化为一个低级的对象，例如，群同态一定是一个函数，范畴同态也一定是一个有向图同态，猫一定是一个宠物。从而将上面的箭头拉到了下面。这种意义下，范畴和面向对象就有很多相似之处，也算是范畴论的一种实用化。
