故事：失踪的弹孔

为什么学习这些数学知识对我们有用呢？

我来给你讲一个失踪弹孔的故事。

在第二次世界大战期间，美国军方在哥伦比亚大学建立了一个秘密研究小组，叫统计研究小组。它的任务是组织美国的统计学家为打赢第二次世界大战服务。这个小组里牛人无数，比如我们熟悉的控制论的创始人诺伯特·维纳（Norbert Wiener），还有后来得过诺贝尔经济学奖的米尔顿·弗里德曼。不过，在这个牛人无数的小组中，天赋最高的并不是他们，而是一位叫亚伯拉罕·瓦尔德（Abraham Wald）的数学家。 

有一次，军方给这群数学家出了一道题。在打仗的时候，为了不让自己的飞机被敌人的战斗机击落，需要给飞机装上装甲。但是，装甲会增加飞机的重量，这样飞机的机动性就会减弱，还要消耗更多的燃油。因此，需要解决的问题是，怎样在防御性能和飞行性能之间找一个平衡点。军方希望数学家帮助他们搞清楚，在哪里加强装甲防护是最合适的。

军方给数学家提供了很多数据。美军的飞机跟敌军的飞机交火之后返回基地，飞机上会留下来很多弹孔。军方发现，在返航的飞机上，机身上的弹孔比引擎上的弹孔更多。因此，军方认为，最应该加强防御的是飞机的机身。他们想让统计学家研究一下，为了保护飞机，机身需要增加多少装甲。

瓦尔德给出的答案却和军方最初的想法大不一样。瓦尔德认为，需要加装装甲的地方不应该是弹孔多的部位，而应该是弹孔少的部位，也就是飞机的引擎。为什么会是这样呢？我们先从一个理论假设来看。从理论上来说，飞机各个部位中弹的概率应该是一样的。那么，为什么返航的飞机机身上的弹孔比引擎上的弹孔更多呢？换言之，引擎上本来应该有的弹孔去哪里了？瓦尔德认为，这是因为引擎被击中的飞机都坠毁了。回来的飞机，机身上尽管留下了很多弹孔，却仍然能够经得住打击，所以才能安全返航。打个比方来说，如果我们到战地医院去统计受伤的士兵，你会发现，腿部中弹的士兵肯定比脑部中弹的士兵要多。脑部中弹的士兵很少能够活下来，腿部中弹的士兵才有更大的概率存活。

从这个故事我们能够学到什么呢？瓦尔德拥有的空战知识肯定不如美军的军官，但他却能看到军官们无法看到的问题。这就是因为瓦尔德有数学思维。军官们犯的错误在于，他们假设返航的飞机是所有飞机的随机样本。但事实上，这是不对的。

沃森测试

假设在你的面前有一张桌子，桌子上放着四张卡片，每个卡片有两面，一面印的是数字，另外一面印的是字母。你能够看到各个卡片朝上的一面。四张卡片，朝上的一面分别是四个符号：A，K，4和7。我再告诉你，这些卡片是有规律的。如果卡片的一面印的是元音字母，那么，另一面必须印的是偶数。我说的到底对不对呢？你得自己去测试。那么，问题来了。你必须要翻哪几张卡片，才能够保证这四张卡片都遵守我说的这个规则？

大部分人都会先翻第一张，就是朝上的一面印着A的那张卡片。如果你把这张卡片翻过去，看到后面不是偶数，那么，我说的这个规则就是不成立的。大部分人也不会去翻那张朝上的一面印着K的卡片，因为不管它的反面印的是奇数还是偶数，跟我们的规律都没有关系。在剩下两张卡片中，有很多人想去翻那张朝上一面印着4的卡片，因为他们想看看反面印的是不是元音。不过，你要再仔细想想：如果4的反面是元音，那么，我说的规则是对的，可是，如果4的反面是辅音，你能判断出来我说的规则就是错的吗？不能的，因为我们的规则是元音的反面是偶数，并没有说偶数的反面一定是元音。这就是这道数学测试题的“陷阱”。很少人去翻那张印着7的卡片，但这张卡片却是最关键的。如果你翻开这张卡片，发现反面印的是元音字母，你就能笃定知道，我说的规则是错的。因此，这道数学测试题的正确答案是：你必须翻看印着A和7的那两张卡片。

这道题你答对了吗？没有答对也别灰心。这是认知心理学界赫赫有名的沃森测试，它是英国心理学家皮特·沃森提出来的。沃森发现，很多被测试者都会答错。

到底谁喝了酒？

假设你是个警察，负责维护酒吧一条街的治安。假设我们规定，年龄不超过18岁的人是不能喝酒的。你走进一个酒吧，发现四个年轻人围在一张桌子前聊得很嗨。他们的桌子上放着各种饮料。有啤酒，有可乐，这你一看就知道。可是，还有一些透明的饮料，这到底是七喜，还是伏特加呢？你要求这四个年轻人把身份证都拿出来，放在桌子上。年轻人嘛，都有一些逆反心理。有两个捣蛋鬼故意把身份证倒扣在桌子上，想捉弄一下你。还有两个比较听话，乖乖地把身份证正面朝上，放在桌子上。

你看到身份证朝下的那两个年轻人中，有一个点了啤酒，另一个点的是可乐。你还看到身份证朝上的两个年轻人中，有一个超过了18岁，还有一个没有到18岁。那么，问题来了，你该查谁的身份证，或者是谁的饮料，才能够确保没有人触犯法律？

答案很简单。你得查那个点了啤酒的家伙的身份证，看他是不是年满18岁了。那个点了可乐的人，你根本就不用管他。剩下两个喝透明饮料的年轻人，你需要去检查一下那个未年满18岁的孩子，闻闻他到底喝的是七喜还是烈酒。

表述方式不同，会导致理解的难度不同

德夫林讲到，如果从进化的角度来看，我们在大脑中从事数学运算的功能区，实际上也是我们使用语言的那个功能区。我们在使用语言的时候，大脑的活动主要发生在额叶，所以额叶是大脑的语言中枢。德夫林有一种很独特的观点，他讲到，人类语言的发展，并不单纯是为了相互之间沟通信息而演化出来的，更为重要的是，人类面对的生存环境越来越复杂，所以必须发展出“离线思考”的能力。所谓的“离线思考”，就是以抽象的方式进行“如果……该怎么办”的推理能力。正是对这种“离线思考”能力的追求，推动了语言和数学思维能力的出现。这种“离线思考”是如何推动语言的演进呢？我们在下一个学习单元，也就是“表达能力”会讲到。现在，你需要了解的是，数学和语言是同宗同源的，都是为了探索某种模式，而且是为了说给别人听，并理解别人是什么意思。你天生就有的语言能力，正是你掌握数学思维的基础。

语言和数学思维之间的关系，中国人应该有更真切的体会。很多数学平平的东方孩子，到了美国，会被别的孩子惊叹为数学天才，其实不是因为中国孩子的智商高，而是因为中文和英文对数字的表达方式不一样。中文表达数字远比英文简洁。中文说11就是11，12就是12，你一听就知道是哪个数，英语里11是eleven，12是twelve，鬼才知道说的是啥。用中文背诵九九乘法表，比用英文去背诵，容易得多。这个小小的例子也说明，表述方式不同，会导致理解的难度不同。

如何更好的预测？

二战之后，美国军人纷纷回家，数百万家庭团圆。九个月之后，出现了百分之百可以预测的现象，美国出现了婴儿潮。出生于1946到1964年这18年时间的美国人口约有7800万。同样的婴儿潮也出现在二战后的日本、欧洲等发达国家。人口数据也是我们看得见、可预测的硬趋势。但是，在二战结束之后，人们本来认为企业订单会暂时减少，经济因此出现衰退，可是并没有发生预想的经济衰退。这就是一种更难预测的软趋势。

相对来说，预测短期和预测长期技术难度相对较小，而预测中期更为复杂。不说别的，在中期会有更多的波动，而这些波动的转折点是很难预测的。比如，即使你知道股票存在着泡沫，但泡沫什么时候崩溃是很难预测的。即使你知道股价被低估，但被低估到什么时候会出现反弹也是很难预测的。

在中期还有一些现象是周期性的，比如在农业中的播种和收割。我们每天看到日夜交替，看到的潮汐现象、月盈月缺、季节更替等等，都表现出了周期性。

所以，在预测中期趋势的时候，一定要慎之又慎。在预测中期趋势的时候，噪音更多，规律更复杂。我们会遇到波动，又会遇到周期。我们很难精准地预测未来的行情，不过，这没有关系，事实上，只要你能判断出转折点，就已经达到很高的水平了。

死鱼能读出人的情绪变化吗？

我先给你讲个科学界的笑话。2009年，加州大学圣塔芭芭拉分校的神经学家克雷格·巴尼特（Craig M. Bennett ）在旧金山的一次国际学术会议上做了个报告，题目是：《大西洋死鲑鱼对人类神经活动的观察》。

他们研究的是什么呢？先介绍一个背景。现在研究脑科学的时候，通常采用的办法是用功能性磁共振成像装置扫描人或动物的大脑，然后观察在特定的行为、情绪下，哪一个大脑的功能区更为活跃。巴尼特和他的小伙伴们就是这么做的。他们煞有其事地把一些人类的照片给一条死鱼看，然后用功能性磁共振成像装置扫描死鱼的脑袋。结果，他们发现这条死鱼竟然能够“正确地”判断出照片中人类的情绪。这个研究当之无愧地获得了2012年搞笑诺贝尔奖。

虽然只是搞笑，但这个研究揭示了一个深刻的道理。我们在第一季“何帆大局观”就已经讲过，人类是容易轻信的，我们会试图寻找世间万物的联系，即使找到的仅仅是错误的联系。我们会在找到第一个支持证据之后就放手，不再思考这种联系到底是不是存在的，是因果关系，还是相关关系。

普通人是这样，科学家也未能免俗。巴尼特的研究小组就是想要挖苦一下有些装模作样的研究。当脑科学家扫描大脑的时候，他们会把大脑分成成千上万个极小的区域。即使是在扫描死鱼的时候，死鱼大脑上每个极小的区域也会随机出现一些噪音。这些噪音中，很可能会有一些看起来跟照片上人的情绪变化相匹配。说白了，这跟看见天上的白云，觉得一会儿像马，一会儿像老头儿，是一样的。

 什么是零假设？

零假设好比你抓到一个犯罪嫌疑人，但你不能先假设他或她有罪，你要先假设他或她是无辜的。做研究的时候，我们也要用同样的思路。假如你要检测一种新药到底有没有疗效，你不能先假设它是有效的，你只能先假设它是无效的。假如你要研究在得到学习是否真的能提升自己在职场和人生的竞争力，你不能先假设是有用的，只能先假设是没有用的。这就是零假设，零假设是假设毫无效果，或假设丝毫不起作用，或是假设没有任何相关关系。我们在做研究的时候，要从零假设开始，然后通过做实验，或是搜集数据，看看能不能推翻零假设。如果能够推翻零假设，那么，你就能讲，这种新药是有疗效的，或者，在得到学习之后能够提升你的水平。

我们再把显著性检验的程序介绍一下：

第一步：开始实验。

第二步：假定零假设成立。

第三步：观察实验结果中出现事件O的概率，我们把这个概率称为P值。P值反映的是零假设成立的可能性。

第四步：如果P值很小，我们就认为实验结果满足零假设的可能性很小，你可以通过这种归谬法判断，你原来想检验的猜想具有统计学上的显著性。如果P值很大，我们就得承认零假设还没有被推翻。

你要记住以下三个陷阱：

P值多小才是显著的呢？在显著性与非显著性之间并没有一条泾渭分明的界限。在实践中，大部分研究者都认为0.05是临界值。可是，这只是一种约定俗成。你有没有注意到，老师在改卷子的时候，更习惯把59分顺手改为60分，所以59分较少，60分更多？在做研究的时候也有类似的情况，如果差一点没有过0.05的临界值，有的研究者就会修改数据，通过“威逼利诱”，把结果改为有显著性。

你不能假设一种因素一定会有影响力。如果你太想得出有影响力的结论，就可能会操纵实验。比如说，我们要研究吃糖豆会不会得痤疮。科学家可能会发现，吃糖豆和得痤疮之间没有关系。但是，他们还可能会分析吃紫色的糖豆、咖啡色的糖豆、粉红色的糖豆、红色的糖豆和得痤疮的关系。照这样分析下去，很可能会像死鱼读出人的情绪一样，偶然地发现某一种糖豆，比如说吃绿色的糖豆和得痤疮之间有相关性。这种研究其实是没有意义的。

不要误解“显著性”。很多科学术语都有误导，显著性这个词就是典型的例子。在我们的日常用语中，显著指的是很重要、很有意义。统计学家进行的显著性检验，并不是为了检验它的重要性。比如，如果我们测试一种新药的疗效，零假设是这种药没有任何疗效。如果能够推翻零假设，我们也仅仅证明了这种药是有疗效的，但是它的疗效可能非常地小。 统计学家认为有显著性，但临床的大夫却会告诉你，这种药在治疗中其实没有任何疗效。

孩子在学习算术的时候，其实也是在运用抽象思维能力。

孩子们之所以在学校里觉得数学难，很可能不是数学真的难，而是学校的教育方式有问题。教育学家在巴西做过一个实验，他们发现贫民窟学校里的孩子，有的数学成绩好，有的成绩不好，但这些孩子都有一个共同的特点，他们家里都很穷，孩子们下了课要帮着爸妈在市场上摆摊卖东西。在摆摊卖东西的时候，这些孩子都很会算账，数学能力都很棒，而且他们的这种数学能力跟在学校里的数学成绩之间是没有关系的。这说明数学能力是在应用中培养出来的。我们会看到有一些常年做出纳、会计、售货员这些工作的人，他们必须要跟数字打交道，所以日久天长，就锻炼出对数字的敏感，以及非常强的计算能力。

遗憾的是，在学校里，我们并不注重数学的运用，也不知道怎么培养学生的数学思维能力，于是，等学生到了高中开始学代数，或者是到了大学要学微积分的时候，会丧失本能的抽象思维能力，他们就会觉得数学太难了。不仅如此，学生们还会觉得，自己根本掌握不了数学这门学问，于是，这就变成了一种自我实现的预言。

我们可以把抽象思维分为四个层次。

第一个层次的抽象思维是“眼见为实”的抽象。

一把椅子，本来放在房间的这一边，然后被挪到房间的另一边。这还是那把椅子吗？是的，这还是同一把椅子。在作出这样的判断的时候，你其实已经运用了初级的抽象思维，而这种抽象思维能力，是不少动物都能够掌握的。这种抽象思维思考的各种事物，是在当前环境下能够见到的真实的事物。

第二个层次的抽象思维是“想到为实”的抽象。

我告诉你马。你现在待的房间里没有马，但这不妨碍你想象出一匹马的样子。你和你的父母已经分开一段时间了，但你还是能够想到他们的音容笑貌。你以前养过一只小狗，后来送人了，但你还是能够记得当时和它在一起的日子。这种抽象思维是指，我们所思考的事物，是你不能在当前环境下亲眼所见，但却是你原本熟悉的事物。

第三种层次的抽象思维是“眼见为虚”的抽象。

到这一层级，就只有人类才能拥有了。我们思考的事物在现实世界中其实是没有的，但我们能够虚构出来。比如，这个世界上没有龙，但是我们可以把各种动物的特征融为一体，创造出一种神兽。图腾是一种虚幻，神话也是一种虚幻。这都是有了概念之后，抽象出来的事物。

第四种层次的抽象思维是“想到为虚”的抽象。

这才是数学思维的层次。数学对象是全然抽象的，它们同现实世界没有简单或者是直接的联系。我们在数学中用到的概念，比如“0”，比如虚数，你仔细想想，在现实中是没有这些东西的。这是一种更高层次的抽象。

进入到第四境界的抽象，你会发现，抽象之上还有抽象。比如说，你在小学一年级就知道，1+2=2+1，这叫交换律，你还会学到结合律、分配律。再大一点，学到乘法的时候，你又学会，1*2=2*1。再大一点，你开始学几何。你会发现，圆也是对称的，把圆的一半换到另一半，圆还是不变的。等到你学函数的时候，你会学到函数的交换律和结合律，等你学集合论的时候，两个集合之间也有交换律、结合律和分配律。等到你学到线性代数的时候，是不是又要讨论矩阵的交换律？如果你上的是数学系，学到群论的时候，是不是又要讲在什么时候下，群能满足交换律？你再想想，数学的本质是不是一以贯之的？数学就是一种关于模式的科学，有的模式相对简单，有的模式相对复杂，复杂的模式不过是模式的模式，甚至是模式的模式的模式，于是，我们就开始糊涂了。

数学家是如何解题的

著名数学家波利亚谈到，解题有一些基本的技巧。

首先，从熟悉的题目出发。在解题的时候，首先要想一想有没有你已经知道的非常熟悉的数学题。从熟悉的题目开始，再进行更为复杂的推理。

其次，把复杂的题目简化。当你遇到一个看起来很复杂的题目时，首先要想怎样把它简化。先作出最简单的假设，即使这样的假设是非常荒谬的。从最简单的模型出发，一步步地再把它复杂化。从最特殊的例子出发，再一步步地把它一般化。

再次，把抽象的题目形象化。有很多数学家的天分并不是抽象思维能力，而是形象思维能力。他们本能地会从几何的角度找到代数的答案。形象思维和抽象思维并不矛盾，形象思维发达，会有助于你提升抽象思维。

总之，我们可以把数学设想为一个由乐高积木搭成的雄伟建筑。尽管看起来非常复杂，但如果仔细去看，你会发现它是由一个一个简单的模块拼装起来的。数学的本质思想就是简单的东西是复杂的，而复杂的东西其实是简单的。

10本书帮你具备严密的数学思维

精读

乔丹·艾伦伯格，《魔鬼数学》

本周我们的精读书是著名数学家乔丹·艾伦伯格（Jordan Ellenberg）的《魔鬼数学》。艾伦伯格和一般的数学家不一样的地方是，他是个文学爱好者，曾经写过一本严肃小说，还经常参加文学评奖。这种爱好和背景使得他更愿意把数学王国的神秘知识讲给普通读者。这本书的英文原名是：How Not To Be Wrong: The Power of Mathematical Thinking.

我们本周只介绍了艾伦伯格书里的第一部分和第二部分。后面还有三部分也很精彩，我们都没有讲到。这是一件很遗憾的事情。我们的通识课如果不是仅仅一年，而是有两三年的时间，就能讲得更加系统了。请你有空继续读读艾伦伯格这本书后面的部分，尤其是第五部分，是他作为一位数学家对数学中形式主义的反思。

选读

1.基思·德夫林，《数学犹聊天》

我们在本周还介绍了另一位数学家基思·德夫林的《数学犹聊天》。

这本书试图从生物演进的角度解释数学和语言的出现。作者首先介绍了动物和人类的数学本能，然后借助脑神经科学，发现人类在使用数学思维的时候，大脑活跃的区域恰好是我们在说话的时候大脑活跃的区域，因此，他才得出数学其实是另一种方式表达出来的语言这样一个假设。他的这一假设是有道理的。抽象思维、阅读，这都是我们人类在很晚近时期才进化出来的能力，这些能力一定会借助于我们以前的某些功能。德夫林在这本书里告诉我们，语言不仅仅是为了交流思想，更是为了理清思路，他还尝试分析了语言的出现。他的思路和著名语言学家乔姆斯基的想法很相似，我们到“表达方式”这个学习单元会讲到乔姆斯基。德夫林的这本书，我也推荐大家通读。

2.戴维·萨尔斯伯格，《女士品茶：统计学如何变革了科学和生活》

本周的另一本选读书是戴维·萨尔斯伯格的《女士品茶：统计学如何变革了科学和生活》。这是一本比较少见的统计学科普读物。大致的线索是沿着统计学的发展历史来讲的，你会对统计学的脉络有个更清晰地了解。遗憾的是，本书每一章的篇幅太短，很多地方讲得意犹未尽。我读这本书最大的启发是作者对统计学基础的反思。究竟什么是概率，其实统计学家自己也没有完全想清楚。我倒觉得这是件好事，因为这意味着统计学很可能还会出现新的革命。

3&4.《大数据思维与决策》&《信号与噪声》

本周我还推荐了两本跟大数据有关的书。一本是经济学家伊恩·艾瑞斯写的《大数据思维与决策》。另一本是非常有名的预测专家纳特·西尔弗写的《信号与噪声》。这两本书我以前都有书评。所以就不在本周的课程中重复了，其实这两本书对你的思维可能会更有启发。

5&6&7.《混沌：开创新科学》，《夸克与美洲豹》《大师说科学与哲学》

本周我还推荐了三本和复杂性科学有关的书，一本是当年风靡一时的《混沌：开创新科学》，是著名科学记者詹姆斯·格雷克写的。我是上大学的时候读的这本书，当年激动的心情，现在还能回忆起来。另一本是传奇科学家M.盖尔曼写的《夸克与美洲豹》。中译本读起来有点吃力，而且是一本老书了，不太好找。有条件的读者还是读原著为好。还有一本我刚刚读完的书，是海因茨.R.帕格尔斯写的《大师说科学与哲学：计算机与复杂性科学的兴起》。很多书的中译本书名都跟原来的书名差异很大，这样不好。但是，这本书读起来很有意思，不过，如果仅凭这个书名，我肯定不会去读的。

8.G.波利亚，《如何解题：数学思维的新方法》

有喜欢数学的中学生学霸吗？我推荐一本G.波利亚写的《如何解题：数学思维的新方法》。这是培养数学思维的经典。我们本周讲了数学思维，我希望你能够破除对数学的迷信，但你也不要走到另外一个极端。数学跟打网球、下围棋一样，是需要不断练习的，看似简单的数学知识，其实都是不断深思、改错，才发现的。掌握数学思维的最好办法是做题。波利亚的这本书就是介绍解题技巧的。他已经把解题技巧，升华到哲学层面。

9.卡尔·波普尔，《猜想与反驳：科学知识的增长》

最后一本书是卡尔·波普尔的《猜想与反驳：科学知识的增长》，这本书是经典，难度较大，但影响深远。书里提到了一些科学发现，包括数学发现的故事，供你参考。