初中代数（六）：分式

分式

一般地，如果 A, B 是两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 \frac{A}{B} 叫做分式，其中 A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母(B≠0)

  • A, B 都是整式
  • B 中含有字母
  • B ≠ 0

分式是不同于整式的另一类有理式，分母中含有字母是分式的主要特点：

  • 整式：\frac{2x + 1}{3}，\frac{1}{2} (a + b)，\frac{x + 1}{π}
  • 分式：\frac{2x + 1}{3x}，\frac{x^{2}}{x}，\frac{a^{2} - 2ab + b^{2}}{a - b}

分式等于 0，则分子为 0，且分母不为 0

例：分式 \frac{|x| - 1}{x + 1} 值为 0，求 x
解：|x| - 1 = 0，x + 1 ≠ 0
∴ x = 1

分式与分数比较：

  • 分数是数的运算：\frac{被除数}{除数} = 商数，3 ÷ 5 = \frac{3}{5}
  • 分式是式子的运算：\frac{被除式}{除式} = 商式，(m + n) ÷ (m - n) = \frac{m+n}{m-n}

分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以一个不为 0 的数，分数值不变

分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为 0 的整式，分式值不变
\frac{A}{B} = \frac{AC}{BC}，其中 A B C 是整式，C ≠ 0

分式的约分：把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫做分式的约分

  • 如果分式的分子和分母都是多项式，应该先分解因式，再约分
  • 约分的结果必须是最简分式

最简分式：分子和分母没有公因式的分式，也就是没有办法再约分的分式

分式的通分：把各分式化成与原分式相等的同分母的分式，叫做通分

  • 通分时先要找出各个分式的最简公分母
  • 取各分母的所有因式的最高次幂的乘积作公分母，它叫做最简公分母

分式的乘法法则：分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母
\frac{a}{b} · \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

分式的除法法则：除以一个式子，等于乘以这个式子的倒数
\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} × \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}

同分母分式相加减，分母不变，分子相加减
\frac{a}{b} ± \frac{c}{b} = \frac{a±c}{b}

异分母分式相加减，先通分成同分母分式，再加减
\frac{a}{b} ± \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} ± \frac{bc}{bd} = \frac{ad ± bc}{bd}

练习题：

例1：计算 \frac{a^{2} - 4a + 4}{a^{2} - 2a + 1} · \frac{a - 1}{a^{2} - 4}

解：原式 = \frac{(a - 2)^{2}}{(a - 1)^{2}} · \frac{a - 1}{(a + 2)(a - 2)}
= \frac{a - 2}{(a + 2)(a - 1)}

注意：

  • 把分子和分母的多项式进行因式分解，方便分式的约分
  • 最后的结果需要写成最简分式

例2：计算 \frac{1}{49 - m^{2}} ÷ \frac{1}{m^{2} - 7m}

解：原式 = -\frac{1}{m^{2} - 49} · \frac{m^{2} - 7m}{1}
= -\frac{m(m - 7)}{(m + 7)(m - 7)}
= -\frac{m}{m + 7}

例3：计算 (\frac{x}{2y})2 · \frac{y}{x}

解：原式 = \frac{x^{2}}{4y^{2}} · \frac{y}{x}
= \frac{x}{4y}

例4：计算 \frac{2a}{a^{2} - 4} - \frac{1}{a - 2}

解：原式 = \frac{2a}{(a + 2)(a - 2)} - \frac{1}{a - 2}
= \frac{2a}{(a + 2)(a - 2)} - \frac{a + 2}{(a + 2)(a - 2)}
= \frac{2a - a - 2}{(a + 2)(a - 2)}
= \frac{a - 2}{(a + 2)(a - 2)}
= \frac{1}{a + 2}

例5：计算 \frac{1}{a - 1} + \frac{2}{1 - a^{2}}

解：原式 = \frac{1}{a - 1} - \frac{2}{a^{2} - 1}
= \frac{1}{a - 1} - \frac{2}{(a + 1)(a - 1)}
= \frac{a + 1}{(a + 1)(a - 1)} - \frac{2}{(a + 1)(a - 1)}
= \frac{a - 1}{(a + 1)(a - 1)}
= \frac{1}{a + 1}

分式方程

分母中含有未知数的方程叫做分式方程

\frac{100}{20 + v} = \frac{60}{20 - v}

整式方程：\frac{x - 2}{2} = \frac{x}{3}
分式方程：\frac{4}{x} + \frac{3}{y} = 7

对角线相乘，等式仍然成立

若 \frac{a}{b} = \frac{c}{d}，等号两边同时乘以最简公分母 bd
则 ad = bc

解分式方程步骤：

  1. 两边乘以最简公分母，去分母，将分式方程化为整式方程
  2. 解整式方程
  3. 将结果代入到分式方程，看分式方程是否有意义（分母是否为 0）
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