文/涅阳三水
数学的真谛是问题的解决、描述和理解结构与范型。
我们考察数学，既要关注数学教师的数学学科知识，又要关注教师的教学法知识，还要关注对学生作为数学学习者的知识。
教材给我们出示了几位数学榜样教师，我们看看他们是如何完成教学的。
第一位兰珀特教师。
对于多位数乘法，她创造了一系列的课堂教学，对象是计算技能参次不齐的28名四年级学生。
她对自己的教学做了清楚的表述，对乘法结构的理解，和对于乘法相关的问题情景和广泛领域的陈述，都是在计划和实施教学史上考虑的问题。
她将学生们已有的多位数乘法知识和原理概念知识结合起来，用三节课做到了这一点。
这样做，就是帮助学生认识什么是数学的合理性的目标，形成了她设计课堂教学的方法，这些方法启发了学生对两位数乘法的理解。
第二位教师是三年级的鲍尔。
他帮助学生扩展对数的理解，从自然数到整数，为我们提供了一个运用广泛的学科知识和教学法知识进行教学的精彩片段。
他不仅考虑什么是重要的数学观念，还考虑儿童是如何思考他所要教的特定数学领域。
他把作为数学单位的整数，以及他丰富的教学方法知识，运用到整数教学中，这样的目标超越了典型的数学教学的界限，发展成一种文化。
鲍尔老师的工作，强调了构想出有效途径，把教学的关键概念呈现给儿童的重要性，还有困难。
这种对整数可能性表示的知识，以及他对整数的重要数学性质的理解，是他设计与教学的基础。
毫无疑问，这两位老师都强调了教师在计划和实施教学中，学科知识和教学法知识的重要性，同样重要的是教师把学生理解为学习者，做教师的，不仅要有数学领域特定内容的知识，和学生怎样看待这一特定内容的知识，还有班级里的个别孩子，怎样看待这一特定领域的知识。
第3位教师是安妮。
他用认知导向的教学方法，对象是一二年级的复式班教学。
他的课堂教学画面，揭示出他的数学学科知识和教学法知识是如何影响他的教学决策的。
在安妮的教室里，他不断的挑战学生，有学生思考并试着对他们所做的活动赋予数学意义，他把这些活动当作他了解每个学生怎样看待和理解数学的机会。
他对学生的各种理解做出假设，然后以这些假设为基础，选择恰当的活动。
安妮老师的教学决策显示出他对每个学生理解状态的清楚的诊断，是一场基于学生的理解水平，又有教师精心指挥的教学。
老师知道什么是重要的教学问题，什么对学习者的进步来说更加重要。
在介绍了三位优秀教师的做法之后，又给我们提出了建模现象的重要性。
建模方式从幼儿园到12年级都可以运用，设计建构模型的周期循环、模型评价、模型修正，建构模型的实践无处不有，形式多样。
建模在学科领域的普遍性和多样性说明，建模能够帮助学生发展对广泛的重要概念的理解。
用建模的方法解决问题，需要发明一个模型，探索这个模型的质量，然后用这个模型回答感兴趣的问题。
建模的实践，为我们探讨学科中的大概念提供的可能。
小结：
数学教学，在开始时应该将注意力放在鼓励学生发明自己的问题解决方法上，鼓励学生讨论，为什么这些策略有用，不仅仅是计算规则，比如加法减法等。
教师对教学任务的选择，对学生完成任务是思维的引导，对教师的数学知识，教学法知识和学生已有的知识高度相关。
