4.2 Universal Functions: Fast Element-Wise Array Functions（通用函数：快速点对点数组函数）
universal function, 或 ufunc, 是用来在ndarray中实现element-wise操作的。
可以认为这个ufunc可以把一些简单的函数做快速的向量化封装，输入是一个以上的标量，输出也是一个以上的标量。
很多ufuncs都是点对点的变换，像sqrt或exp：
In [137]: arr = np.arange(10)
In [138]: arr
Out[138]: array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])
In [139]: np.sqrt(arr) #平方根
Out[139]:
array([ 0. , 1. , 1.4142, 1.7321, 2. , 2.2361, 2.4495,
2.6458, 2.8284, 3. ])
In [140]: np.exp(arr) #以自然常数e为底的指数函数
Out[140]:
array([ 1. , 2.7183, 7.3891, 20.0855, 54.5982,
148.4132, 403.4288, 1096.6332, 2980.958 , 8103.0839])
这些函数叫做一元通用函数（unary ufuncs）。其他一些函数，比如add或maximum，需要两个数组（binary ufuncs）,并返回一个数组作为结果：
In [141]: x = np.random.randn(8)
In [142]: y = np.random.randn(8)
In [143]: x
Out[143]:
array([-0.0119, 1.0048, 1.3272, -0.9193, -1.5491, 0.0222, 0.7584,
-0.6605])
In [144]: y
Out[144]:
array([ 0.8626, -0.01 , 0.05 , 0.6702, 0.853 , -0.9559, -0.0235,
-2.3042])
In [145]: np.maximum(x, y)
Out[145]:
array([ 0.8626, 1.0048, 1.3272, 0.6702, 0.853 , 0.0222, 0.7584,
-0.6605])
这里mamimum点对点的比较x和y中的元素。
尽管不常见，但ufunc也能返回多个数组。例如modf，这是一个向量版的divmod（python内建函数），modf会返回小数部分和整数部分：
In [146]: arr = np.random.randn(7) * 5
In [147]: arr
Out[147]: array([-3.2623, -6.0915, -6.663 , 5.3731, 3.6182, 3.45 , 5.0077])
In [148]: remainder, whole_part = np.modf(arr)
In [149]: remainder
Out[149]: array([-0.2623, -0.0915, -0.663 , 0.3731,
0.6182, 0.45 , 0.0077])
In [150]: whole_part
Out[150]: array([-3., -6., -6., 5., 3., 3., 5.])
Ufuncs可以接受一个out可选参数，这样就能在数组原地进行操作：
In [151]: arr
Out[151]: array([-3.2623, -6.0915, -6.663 , 5.3731, 3.6182, 3.45 , 5.0077])
In [152]: np.sqrt(arr)
Out[152]: array([ nan, nan, nan, 2.318 , 1.9022, 1.8574, 2.2378])
In [153]: np.sqrt(arr, arr)
Out[153]: array([ nan, nan, nan, 2.318 , 1.9022, 1.8574, 2.2378])
In [154]: arr
Out[154]: array([ nan, nan, nan, 2.318 , 1.9022, 1.8574, 2.2378])
下面分别列出了一些一元和二元ufunc。
4.3 利用数组进行数据处理
向量化的数组运算比纯python同等程度的运算要快很多。
一个简单的例子，假设我们想要评价函数sqrt(x^2 + y^2)。
在进行书中的内容之前，先举个例子说明meshgrid的效果。meshgrid函数用两个坐标轴上的点在平面上画网格。用法：
[X,Y]=meshgrid(x,y)
[X,Y]=meshgrid(x)与[X,Y]=meshgrid(x,x)是等同的
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z)生成三维数组，可用来计算三变量的函数和绘制三维立体图
这里，主要以[X,Y]=meshgrid(x,y)为例，来对该函数进行介绍。
[X,Y] = meshgrid(x,y) 将向量x和y定义的区域转换成矩阵X和Y,其中矩阵X的行向量是向量x的简单复制，而矩阵Y的列向量是向量y的简单复制(注：下面代码中X和Y均是数组，在文中统一称为矩阵了)。
假设x是长度为m的向量，y是长度为n的向量，则最终生成的矩阵X和Y的维度都是 nm （注意不是mn）。
In [5]: m, n = (5, 3)
...: x = np.linspace(0, 1, m) #linspace(x1,x2,n)是生成从x1到x2的n个向量
...: y = np.linspace(0, 1, n)
...: X, Y = np.meshgrid(x, y)
...: x
...:
...:
Out[5]: array([0. , 0.25, 0.5 , 0.75, 1. ])
In [6]: y
Out[6]: array([0. , 0.5, 1. ])
In [7]: X
Out[7]:
array([[0. , 0.25, 0.5 , 0.75, 1. ],
[0. , 0.25, 0.5 , 0.75, 1. ],
[0. , 0.25, 0.5 , 0.75, 1. ]])
In [8]: Y
Out[8]:
array([[0. , 0. , 0. , 0. , 0. ],
[0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5],
[1. , 1. , 1. , 1. , 1. ]])
可以看到X和Y的shape都是3x5，用图的话更好理解：
把X和Y画出来后，就可以看到网格了：
import matplotlib.pyplot as plt
# matplotlib.pyplot是一些命令行风格函数的集合，使matplotlib以类似于MATLAB的方式工作
%matplotlib inline
plt.style.use('ggplot')
plt.plot(X, Y, marker='.', color='blue', linestyle='none')
可以用zip得到网格平面上坐标点的数据：
z = [i for i in zip(X.flat, Y.flat)]
z
np.meshgrid函数取两个1维的数组，产生一个2维的矩阵，对应于所有两个数组中(x, y)的组合：
In [155]: points = np.arange(-5, 5, 0.01) # 1000 equally spaced points
In [156]: xs, ys = np.meshgrid(points, points) # xs和ys是一样的
In [157]: ys
Out[157]:
array([[-5. , -5. , -5. , ..., -5. , -5. , -5. ],
[-4.99, -4.99, -4.99, ..., -4.99, -4.99, -4.99],
[-4.98, -4.98, -4.98, ..., -4.98, -4.98, -4.98],
...,
[ 4.97, 4.97, 4.97, ..., 4.97, 4.97, 4.97],
[ 4.98, 4.98, 4.98, ..., 4.98, 4.98, 4.98],
[ 4.99, 4.99, 4.99, ..., 4.99, 4.99, 4.99]])
In [158]: z = np.sqrt(xs ** 2 + ys ** 2)
In [159]: z
Out[159]:
array([[ 7.0711, 7.064 , 7.0569, ..., 7.0499, 7.0569, 7.064 ],
[ 7.064 , 7.0569, 7.0499, ..., 7.0428, 7.0499, 7.0569],
[ 7.0569, 7.0499, 7.0428, ..., 7.0357, 7.0428, 7.0499],
...,
[ 7.0499, 7.0428, 7.0357, ..., 7.0286, 7.0357, 7.0428],
[ 7.0569, 7.0499, 7.0428, ..., 7.0357, 7.0428, 7.0499],
[ 7.064 , 7.0569, 7.0499, ..., 7.0428, 7.0499, 7.0569]])
作为第9章的先导，我用matplotlib创建了这个二维数组的可视化：
In [160]: import matplotlib.pyplot as plt
In [161]: plt.imshow(z, cmap=plt.cm.gray); plt.colorbar()
#Python在Matplotlib库中，调用imshow()函数实现热图绘制
Out[161]: <matplotlib.colorbar.Colorbar at 0x7f715e3fa630>
In [162]: plt.title("yujiaw")
Out[162]: <matplotlib.text.Text at 0x7f715d2de748>
1 Expressing Conditional Logic as Array Operations (像数组操作一样表示逻辑条件)
numpy.where函数是一个向量版的三相表达式，x if condition else y。假设我们有一个布尔数组和两个数组：
In [165]: xarr = np.array([1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5])
In [166]: yarr = np.array([2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5])
In [167]: cond = np.array([True, False, True, True, False])
假设我们想要根据cond中的值选取xarr和yarr的值：当cond中的值为True时，选取xarr的值，否则从yarr中选取。列表推导式的写法应该如下所示：
In [168]: result = [(x if c else y)
.....: for x, y, c in zip(xarr, yarr, cond)]
In [169]: result
Out[169]: [1.1000000000000001, 2.2000000000000002, 1.3, 1.3999999999999999, 2.5]
这么做的话会有很多问题。首先，对于很大的数组，会比较慢。第二，对于多维数组不起作用。但np.where能让我们写得更简洁：
In [170]: result = np.where(cond, xarr, yarr)
In [171]: result
Out[171]: array([ 1.1, 2.2, 1.3, 1.4, 2.5])
np.where中第二个和第三个参数不用必须是数组。where在数据分析中一个典型的用法是基于一个数组，产生一个新的数组值。假设我们有一个随机数字生成的矩阵，我们想要把所有的正数变为2，所有的负数变为-2。用where的话会非常简单：
In [172]: arr = np.random.randn(4, 4)
In [173]: arr
Out[173]:
array([[-0.5031, -0.6223, -0.9212, -0.7262],
[ 0.2229, 0.0513, -1.1577, 0.8167],
[ 0.4336, 1.0107, 1.8249, -0.9975],
[ 0.8506, -0.1316, 0.9124, 0.1882]])
In [174]: arr > 0
Out[174]:
array([[False, False, False, False],
[ True, True, False, True],
[ True, True, True, False],
[ True, False, True, True]], dtype=bool)
In [175]: np.where(arr > 0, 2, -2)
Out[175]:
array([[-2, -2, -2, -2],
[ 2, 2, -2, 2],
[ 2, 2, 2, -2],
[ 2, -2, 2, 2]])
使用np.where，可以将标量和数组结合起来。例如，我可用常数2替换arr中所有正的值：
In [176]: np.where(arr > 0, 2, arr) # set only positive values to 2
Out[176]:
array([[-0.5031, -0.6223, -0.9212, -0.7262],
[ 2. , 2. , -1.1577, 2. ],
[ 2. , 2. , 2. , -0.9975],
[ 2. , -0.1316, 2. , 2. ]])
传递给where的数组大小可以不相等，甚至可以是标量值。
2 Mathematical and Statistical Methods (数学和统计方法)
一些能计算统计值的数学函数能基于整个数组，或者沿着一个axis（轴）。可以使用aggregations(often called reductions，汇总，或被叫做降维)，比如sum, mean(平均值）, and std(标准差).
下面是一些aggregate statistics（汇总统计）：
In [177]: arr = np.random.randn(5, 4)
In [178]: arr
Out[178]:
array([[ 2.1695, -0.1149, 2.0037, 0.0296],
[ 0.7953, 0.1181, -0.7485, 0.585 ],
[ 0.1527, -1.5657, -0.5625, -0.0327],
[-0.929 , -0.4826, -0.0363, 1.0954],
[ 0.9809, -0.5895, 1.5817, -0.5287]])
In [179]: arr.mean()
Out[179]: 0.19607051119998253
In [180]: np.mean(arr)
Out[180]: 0.19607051119998253
In [181]: arr.sum()
Out[181]: 3.9214102239996507
mean和sum这类的函数可以接受一个axis选项参数，用于计算该轴向上的统计值，最终结果是一个少一维的数组：
In [182]: arr.mean(axis=1)
Out[182]: array([ 1.022 , 0.1875, -0.502 , -0.0881, 0.3611])
In [183]: arr.sum(axis=0)
Out[183]: array([ 3.1693, -2.6345, 2.2381, 1.1486])
mean, sum这样的函数能接受axis作为参数来计算统计数字，返回的结果维度更少：
In [182]: arr.mean(axis=1)
Out[182]: array([ 1.022 , 0.1875, -0.502 , -0.0881, 0.3611])
In [183]: arr.sum(axis=0)
Out[183]: array([ 3.1693, -2.6345, 2.2381, 1.1486])
这里，arr.mean(1)是“计算行的平均值”，arr.sum(0)是“计算每列的和”。
其他如cumsum和cumprod之类的方法则不聚合，而是产生一个由中间结果组成的数组：
In [184]: arr = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7])
In [185]: arr.cumsum() #cumsum是matlab中一个函数，通常用于计算一个数组各行的累加
Out[185]: array([ 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28])#上面的计算是一个累加的结果0+1=1，1+2=3，3+3=6以类推。
在多维数组中，累加函数（如cumsum）返回的是同样大小的数组，但是会根据每个低维的切片沿着标记轴计算部分聚类：
In [186]: arr = np.array([[0, 1, 2], [3, 4, 5], [6, 7, 8]])
In [187]: arr
Out[187]:
array([[0, 1, 2],
[3, 4, 5],
[6, 7, 8]])
In [188]: arr.cumsum(axis=0)
Out[188]:
array([[ 0, 1, 2],
[ 3, 5, 7],
[ 9, 12, 15]])
In [189]: arr.cumprod(axis=1)
Out[189]:
array([[ 0, 0, 0],
[ 3, 12, 60],
[ 6, 42, 336]])
表4-5列出了全部的基本数组统计方法。后续章节中有很多例子都会用到这些方法。
3.用于布尔型数组的方法
在上面这些方法中，布尔值会被强制转换为1（True）和0（False）。因此，sum经常被用来对布尔型数组中的True值计数：
In [190]: arr = np.random.randn(100)
In [191]: (arr > 0).sum() # Number of positive values
Out[191]: 42
有两个其他方法，any和all，对于布尔数组特别有用。any检测数组中只要有一个ture返回就是true，而all检测数组中都是true才会返回true。
In [192]: bools = np.array([False, False, True, False])
In [193]: bools.any()
Out[193]: True
In [194]: bools.all()
Out[194]: False
这两个方法也能用于非布尔型数组，所有非0元素将会被当做True。
4 Sorting（排序）
跟Python内置的列表类型一样，NumPy数组也可以通过sort方法就地排序：
In [195]: arr = np.random.randn(6)
In [196]: arr
Out[196]: array([ 0.6095, -0.4938, 1.24 , -0.1357, 1.43 , -0.8469])
In [197]: arr.sort()
In [198]: arr
Out[198]: array([-0.8469, -0.4938, -0.1357, 0.6095, 1.24 , 1.43 ])
多维数组可以在任何一个轴向上进行排序，只需将轴编号传给sort即可：
In [199]: arr = np.random.randn(5, 3)
In [200]: arr
Out[200]:
array([[ 0.6033, 1.2636, -0.2555],
[-0.4457, 0.4684, -0.9616],
[-1.8245, 0.6254, 1.0229],
[ 1.1074, 0.0909, -0.3501],
[ 0.218 , -0.8948, -1.7415]])
In [201]: arr.sort(1)
In [202]: arr
Out[202]:
array([[-0.2555, 0.6033, 1.2636],
[-0.9616, -0.4457, 0.4684],
[-1.8245, 0.6254, 1.0229],
[-0.3501, 0.0909, 1.1074],
[-1.7415, -0.8948, 0.218 ]])
上面是直接调用数组的sort方法，会改变原有数组的顺序。但如果使用np.sort()函数的话，会生成一个新的排序后的结果。
一个计算分位数的快捷方法是先给数组排序，然后选择某个排名的值：
In [203]: large_arr = np.random.randn(1000)
In [204]: large_arr.sort()
In [205]: large_arr[int(0.05 * len(large_arr))] # 5% quantile,第5%位置的数
Out[205]: -1.5311513550102103
5 Unique and Other Set Logic (单一性和其他集合逻辑)
Numpy也有一些基本的集合操作用于一维数组。np.unique，能返回排好序且不重复的值：
In [206]: names = np.array(['Bob', 'Joe', 'Will', 'Bob', 'Will', 'Joe', 'Joe'])
In [207]: np.unique(names)
Out[207]:
array(['Bob', 'Joe', 'Will'],
dtype='<U4')
In [208]: ints = np.array([3, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 4, 4])
In [209]: np.unique(ints)
Out[209]: array([1, 2, 3, 4])
拿跟np.unique等价的纯Python代码来对比一下：
In [210]: sorted(set(names))
Out[210]: ['Bob', 'Joe', 'Will']
另一个函数np.in1d用于测试一个数组中的值在另一个数组中的成员资格，返回一个布尔型数组：
In [211]: values = np.array([6, 0, 0, 3, 2, 5, 6])
In [212]: np.in1d(values, [2, 3, 6])
Out[212]: array([ True, False, False, True, True, False, True], dtype=bool)
