计算机配色发展了许多年，但仍不能满足使用需求，归根结底是由于其理论存在一些问题，使得其应用受到一定限制。如果可以找到这些限制点并加以修正，则有可能优化理论模型、提升配色性能。

一、传统配色模型中存在的问题

对于不透明的混浊介质而言，计算机配色理论是指由 K-M 光学模型和色料加和混合模型组成的 K-M 单常数理论和 K-M 双常数理论，K-M 单常数理论多用于织物配色（适用于着色剂散射系数相对于基底而言接近于零的场景），而 K-M 双常数理论则多用于印刷、油漆、涂料等领域。在基材一样的前提下，二者的区别在于 K-M 双常数理论考虑了色料的 K-M 吸收系数 K 和散射系数 S，而单常数理论仅考虑了 K-M 吸收系数 K，这无疑简化了计算，但也丢失了色料的散射信息。

由于计算机配色基础理论 K-M 光学模型和色料加和混合模型存在的一些问题以及在解配色方程时算法的使用不当，而导致配色方程的解收敛速度慢甚至发散等现象，因此在实际配色中多出现预测配方的精度达不到要求、配色成功率不高或配色效果不理想等问题。

K-M 光学模型适用于强散射介质，仅考虑光在介质中传播的前向和后向两个方向上的光吸收和散射的量，且对前向散射和后向散射不加以区分（即认为介质是各向等性的，前向散射系数与后向散射系数相等）。K-M 存在的问题包括：理论建立的几个假设条件、前后向光学特性的区别等。

色料加和混合模型是指组分混合的光学特性可通过对各组分单独光学特性进行数学加和得到（假设油漆中色料的 K-M 吸收系数 K 和散射系数 S，具有像透明介质中吸收质的吸光系数那样与浓度成正比的特性）。由于色料加和混合模型仅为数学上的加和关系而未考虑各单色料之间的物理关系，使其在实际应用中遭遇了诸多问题。主要问题可总结为两个方面：非线性问题与非加和问题。

另外，由于 Kubelka-Munk 方程的数学限制，颜料的 K 和 S 数据是相对于参考成分（通常是白色颜料）计算的。 通常，白色颜料的 K 和 S 可以通过双重测量（反射率和透射率）来确定。这是在单个样品或一系列样品上以恒定的厚度和不同的白色颜料体积浓度进行的。当与其他着色剂组合考虑时，它可能导致不透明度和/或颜料比例的不准确计算。一些配色软件如 Color iMatch 就以绝对单位计算颜料 K 和 S，且在不以白色为基底的情况下测量所有着色剂的 K 和 S，提供了准确的不透明度和颜料比例预测。

除去解析理论，其他表征光与介质相互作用的物理模型都是从能量输运的观点去考虑和分析问题，这无疑损失了光与粒子之间相互作用的相位信息或角分布，而 K-M 模型正是由于这一点的简化和抽象使得计算机配色变得易于实现。这一简化加上色料加和混合模型存在的问题使得在实际配色中存在许多问题。针对这些问题，前人提出了很多的修正方法如：新双常数理论^[1]、最小二乘法配色^[2]、神经网络配色^[3]、四刺激值配色^[4]、全光谱色差权重因子配色^[5]、表面修正^[6]、一阶光谱近似^[7]等通过数学方法进行改进的方法。

[1] Colorant formulation based on new two-constant theory
对于一些纺织物，由于着色剂不能被看做是无散射的，因此在配色时如果使用单常数理论会存在较大误差；而使用双常数理论又需要知道每种着色剂的吸收系数和散射系数（这些值是难以测量的）。因此这篇论文提出了一种新的双常数理论：

(k / S_t) 和 (s / S_t) 即为新双常数。

从上式可以看出，[K/S - (K/S)^t]/c 与 K/S 成线性关系，斜率和截距分别是 -(s/S_t) 和 k/S_t 。因此，新双常数的值可以通过以下方法计算得到：首先测量在没有着色剂的情况下基底的分光反射率，然后设置浓度梯度，测量在只有一种着色剂的情况下混合色的分光反射率，最后可通过最小二乘法得到该着色剂的新双常数。

这篇论文还推导了新双常数理论的配色公式，这里就不贴出来了。这篇论文中也提到了 K/S 与浓度 c 的非线性关系，作者认为导致非线性的原因是随着浓度增加直至达到饱和度，纺织物没有完全吸收着色剂。作者提出了两种方式来拟合这种非线性关系：

其中 p 为略大于1的值；或者：

[2] 最小二乘法在测配色中的应用
这篇文章使用最小二乘法求解测配色过程中的 K/S — C 曲线拟合问题。如下图：

使用最小二乘法可求出拟合的曲线方程表达式为：

[3] 改进的 RBF 神经网络的具体应用研究
基于隐层改进的 BP 网络在织物染色配色中的应用研究
BP 网络泛化能力改进方法在染色配色中的应用研究
基于 RBF 神经网络的遗传算法在织物配色中的应用研究
[4] 针织品测色配色系统研究
“四刺激值”配色法具有使配色试样与给定色泽标样在 CIE 两种标准施照态(D65 和 A)下同时达到等色的特点 。如果能使配色试样与标样在施照态 D65 光源下的三刺激值及施照态 A 光源下的 X 刺激同时达到匹配，则配色试样在与标样之间在施照态 A 光源下的 Y、Z 刺激值也可达到匹配 ,这就是“四刺激值”匹配的配色思想。

四刺激值匹配与 Allen 提出的配色理论十分相似，这里就不再赘述。文章通过实验证实，该四刺激值配色法的配色性能得到了优化。

[5] 全光谱色差型权重因子计算机配色方法研究
目前，基本上有两种计算机配色方法：三刺激值匹配和全光谱匹配。

Allen 建立的配色方法为三刺激值匹配，其基本思想是使匹配色与目标色间的三刺激值差趋近零。而全光谱匹配方法是使配方的反射率曲线和样品的反射率曲线的差别达到最小，以达到小色差的目的，其基本思想是 ：

其中 k_i 是一种权重因子。权重因子的建立是全光谱匹配方法中一个非常重要的因素，此论文设计和使用了一种色差型的权重因子，其表达式为：

这里 x(λ_j)、y(λ_j)、z(λ_j)表示为 CIE 标准观察者三刺激值，E(λ_j)表示光源的相对光谱功率分布。这种权重因子的确立，可以根据假设 ∑ (△X_j)² + (△Y_j)² + (△Z_j)² = min 而获得。也就是说，假设在可见光波段，每个波长处的光谱偏差引起的颜色三刺激值偏差的平方总和达到最小。

结果表明，使用这种色差型权重因子进行计算机配色，色差比已知的几种权重因子配色方法要小。

[6] Kubelka-Munk 理论在纺织印染自动配色中的应用研究
[7] 涂料配色中的一阶光谱近似规划方法

以上修正大多适用于低浓度配色，且它们只修正了非线性的问题（K/S 与 c 的非线性关系），对于非加和性问题则没有提及：① 没有考虑在浓度较高的情况下介质中相邻粒子的相干作用，这直接影响色料混合加和定律的准确性；② 理论模型中色料加和混合模型具有数学加和特性，但实际中应为物理加和或叠加原理即矢量加和。

色料加和混合模型自 1940 年被以假设形式提出至今，并未得到过证明。2009 年杨红英发现“色料加和混合模型”存在问题，即在一定条件下：

1. 色料的 K-M 吸收系数、散射系数 K 与 S 和浓度 C 不成线性关系；
2. 在色料的吸收波段，着色物的散射系数 S 随色料浓度增加而减小；
3. 吸收和散射相互影响，K 和 S 在色料的吸收波段高度负相关；
4. 多色料混合时，线性加和所得到的 K 和 S 值在某些波段多出实测值很多，甚至产生额外新峰，S 值还会出现负值，这与色料加和混合模型不相符。

总结而言，色料加和混合模型的主要问题包括两个方面：

1. 非线性问题

在双常数理论中，提出的“线性关系”为：K_i = c_ik_i 以及 S_i = c_is_i ；单常数理论中的“线性关系”为：(K / S)_i = c_i(k / s₀)_i，即 K_i = c_ik_i. 但实际上，它们与浓度之间的关系都并不是线性的：

针对这一问题，很多学者认为非线性是由表面反射引起，故提出了很多表面反射修正公式（常用的是桑德森修正）；但杨红英指出表面反射并不是非线性的根本原因。

研究人员除了采用改进线性度或非线性拟合、回归、插值、非线性规划等统计方法、数值处理方法处理 K-M 光学系数 K、S、K / S 与浓度 C 的关系外，也有学者不使用 K-M 光学参数而直接采用色度学参数（如 RGB 值）与浓度的非线性关系。

但是对非线性关系的拟合也存在问题，它们只能对特定浓度区间有效，且不仅对这些系数无法解释，而且与当浓度增大到一定程度后 K/S 值趋于不变这一事实不相符。

2. 非加和问题

非加和问题即多组分混合物的吸收和散射系数不能通过各单独组分的吸收和散射系数的数学加和来计算。

二、光学模型的分析

1. 吸收系数
   表征介质吸收作用的光学参数有吸收截面和吸收系数，吸收截面定义为被吸收光功率与入射光强之比；吸收系数则为单位程长一个光量子被吸收的概率。假如吸收粒子均匀分布，密度为 ρ，则吸收系数 ε 与吸收截面 C_a 满足关系：ε = ρC_a .

对于纯吸收无散射的介质，可使用比尔-郎伯定律。

2. 散射系数
   表征介质散射作用的散射截面和散射系数具有与吸收截面和吸收系数相同的定义与关系。经过距离 τ 后，没有被散射的光强为： I = I₀e^-στ . σ 为散射系数。

3. 散射分类

• 相关与非相关散射
  相关散射，指分散在媒介中的散射颗粒产生的散射，由于相邻颗粒之间距离较小，以至颗粒的散射受其他颗粒的影响。非相关散射，由于相邻粒子之间距离很大，以至散射颗粒的散射不会因为其他颗粒的存在而受到影响，在研究这类问题时，可仅考虑不同散射颗粒光强的简单增加，而不去考虑其相位关系。
• 单散射与复散射
  单散射指每一个散射颗粒都仅对入射光进行散射，即入射光通过介质时，仅发生单次散射；复散射指有部分颗粒会对其它散射颗粒的散射光进行二次或多次散射，即入射光通过介质时进行了多次的散射。

对于不相关的单散射，由 N 个颗粒组成的颗粒群的散射强度等于这 N 个颗粒散射强度的数学相加。

4. K-M 吸收与散射系数和真实吸收与散射系数的关系

• Kubelka 曾对 K-M 模型进行过有效性验证，得出在漫射光照射下有：K = με = 2ε ，S = vσ = 2σ .
• Li.Yang 从光的传播路径分析加上对前后向散射的不同的考虑认为：

• Richard 和 Mudgett 从 Multi-Flux 出发得到：

三、计算机配色算法的拓展与改进

上图中，虚线代表 Allen 于 1966 年和 1973 年提出的 K-M 单常数理论和 K-M 双常数理论的矩阵形式，即在每个波长处取一阶微分近似，然后通过重复法进行配色的修正。

Allen 提出的配色算法中，使用了一种近似关系（以 K-M 单常数理论为例）：

经实验检验，微分近似矩阵对配方计算结果影响显著，故有必要对这一关系进行改进。针对这一问题，可以通过高阶逼近的方法来改进。以 K-M 单常数配色为例，通过取泰勒展开的二阶项导出配色方程。

假设：R = f (K / S)，由泰勒展开则有：

也可以写为：

其中：

【总结】理论上来讲，改进计算机配色方法无非通过四种方式：

1. 对 K-M 模型改进并将之应用于计算机配色；
2. 对色料加混合模型的非线性进行修正改进并将之应用于计算机配色；
3. 对色料加混合模型的非加和性进行修正改进并将之应用于计算机配色；
4. 微分近似矩阵，即泰勒展开的线性项可用高阶项代替；

除此之外，对配色方程组的优化求解也很重要，求解的方法使用不当将导致迭代算法的收敛速度慢甚至发散，所以对这个途径的研究也很有价值。

四、对色料加混合模型的修正

1. 针对非线性关系的改进
   传统配色方法为利用染料某一波长处 K/S 值，通过配色方程的计算得到一个初始配方，然后用重复法进行修正直到满足要求。对于改进后的配色方法，则人为指定或通过计算得到初始浓度 C₀，通过插值的方法获得其对应的 K/S 值，并将其代入配色方程中，进行计算得到一个新的浓度 C₁，并与 C₀ 比较是否满足要求，满足则输出配方，否则继续上述过程直至满足要求。
2. 针对非加和关系的改进
   通过实验对 K/S 值的加和性验证，发现：着色剂浓度较低时，大致满足加和性；着色剂浓度较高时，几乎不满足加和性。