大学物理学下

第十七章温度与气体动理论

基本要求

对分子无规则热运动有一个清晰的图景
掌握气体分子运动论的两个基本公式--理想气体的压强公式及平均平动动能与温度的公式，理解压强和温度的微观解释
掌握能量均分原则和理想气体内能公式
理解麦克斯韦速率分布律，明确分布曲线的物理意义
理解分子的平均自由程和平均碰撞次数的规律

第一节气体动理论的基本概念

热力学温标
$(T:K)$

与摄氏文彪
$(t:^\circ C)$

第二节状态参量平衡态理想气体状态方程

平衡态

在不受外界影响(即系统与外界没有物质和能量的交换)的条件下，无论初始状态如何，系统的宏观性质在经充分长时间后不再发生变化的状态

理想气体状态方程
理想气体

在任何情况下都严格遵守波义耳定律、盖吕萨克定律以及查理定理的气体，是实际气体在压强趋于零时的极限.
当质量为
$m$

摩尔质量为
$M$

的理想气体处于平衡状态时,它的状态参量
$(p,V,T)$

满足方程

$pV=\frac{m}{M}RT,R=8.31 J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}理想气体状态方程$

系统的压强,体积,温度中任选两个量一定,就可以确定系统的状态,因此常用
$p-V$

图中的一点表示气体的一个平衡态,
$p-V$

图上的一条曲线来表示系统的一个准静态过程

第三节理想气体的微观模型

分子热运动

大量分子做永不停息的无规则运动

分子热运动的基本特征

分子热运动的无序性
分子热运动的统计性
平衡态的假设估计:平衡态时,气体分子数密度分布均匀;分子沿各个方向运动的机会是均等的,没有任何一个方向上气体分子的运动比其他方向更占优势
微观量:表征个别分子特征的物理量.如某个分子的质量,速度,能量等,在现代化实验条件下是不能直接测得的量
宏观量:表征大量分子的整体特征的量.如温度,压强,热容等,是实验中能测得的量
统计方法:在分子动理论中,必须运用统计方法,求出大量分子的某些微观量的统计平均值,用以解释在实验中直接观测到的物体的宏观性质

第四节理想气体的平均平动动能和温度公式

理想气体压强公式的推导

$p=\frac {1}{3}nm_0\overline{v^2}$

,n为分子密度

分子的平均平动动能

$\overline{\epsilon_k}=\frac{1}{2}m\overline{v^2}\Longrightarrow p=\frac{2}{3}n\overline{\epsilon_k}$

温度的本质和统计意义
设:分子质量为
$m_0$

,气体分子数为
$N$

,分子数密度为
$n$

.
则
$m=Nm_0,M=N_Am_0,$

玻尔兹曼常量:
$k=\frac{R}{N_A}=1.38\times 10^{-23}J\cdot K^{-1}\Longrightarrow pV=\frac{m}{M}RT=\frac{Nm_0}{N_Am_0}\cdot RT=NkT$

$p=nkT=\frac{2}{3}n\overline{\epsilon_k}$

---理想气体物态方程

$\overline{\epsilon_k}=\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}kT$

上述反映了微观量的统计平均值和宏观量之间的关系,指出了温度的统计意义:温度标志着物体内部分子热运动的剧烈程度,它是大量分子热运动平动动能的统计平均值的亮度
对个别分子,说它有温度是没有任何意义的

第五节能量均分定理

自由度

自由度:确定一个物体的空间位置所需要的独立做标数
自由刚体:3个平动3个转动共6个自由度
气体分子的自由度
单原子气体分子:3个自由度
双原子气体分子:5个自由度
非刚性双原子分子运动在温度较高情况发生震动:7个自由度
多原子气体分子:6个自由度
任一分子的平动自由度是3,平均平动动能
$\overline {\epsilon_t}=\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}kT$

能量按自由度均分定理
分子的平均平动动能为
$\frac{3}{2}kT$

,平均分配到3个自由度上,相应每一个自由度平均能量为
$\frac{1}{2}kT$

能量均分定理:在温度
$T$

的平衡态下,物质(气体,液体和固体)分子的每一个自由度的平均能量都相等,而且都等于
$\frac{1}{2}kT$
理想气体的内能
内能的概念

宏观物体内部所有分子各种形式热运动的动能,势能以及分子间相互作用的势能的总和称为物体的内能
内能是状态的函数
内能和机械能是不同的
气体内能=平动动能+转动动能+振动动能+振动势能+分子间势能
气体内能是状态参量
$T$

和
$V$

的函数
理想气体的内能仅是温度
$T$

的单质函数,即
$E=E(T)$

,对
$1mol$

的理想气体:
$E_{mol}=N_A\overline{\epsilon}=N_A\cdot\frac{i}{2}kT=\frac{i}{2}RT$

第六节麦克斯韦速率分布律

分布的概念
气体速率分布的实验测定
使用实验检出不同速率气体分子数,设
$N$

为总分子数,
$\Delta N$

为速率区间
$\Delta v$

内的分子数
速率分布的几个概念

大量气体分子所遵循的统计规律(分布)
不能讲某个速率的分子数,只能讲某某速率间隔中的分子数
$(v\rightarrow v+\Delta v)\Longrightarrow\Delta N$
某个速率间隔的分子数占总分子数的百分数
$\frac{\Delta N}{N}$
某个速率间隔中
$(v\rightarrow v+\Delta v)$

单位速率区间的分子数占总分子数的比率
$\frac{\Delta N}{N\Delta v}$

(概率密度或分布函数)

麦克斯韦速率分布律
速率分布函数
$f(v)=\lim_{\Delta v\rightarrow0}\frac{\Delta N}{N\Delta v}=\frac{1}{N}\lim_{\Delta v\rightarrow0}\frac{\Delta N}{\Delta v}=\frac{1}{N}\frac{dN}{dv}=\frac{dN}{Ndv}$

速率分布函数的物理意义

速率在速率
$v$

所在的单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比
麦克斯韦速率分布函数的数学表达式:
$f(v)=4\pi(\frac{m}{2\pi kT})^{3/2}v^2e^{-\frac{mv^2}{2kT}}$

气体分子的三种统计速率

$v_p$

:最概然速率,将
$f(v)$

对
$v$

求导,并令其为零,寻求
$f(v)-v$

曲线的极大值处即
$\frac{df(v)}{dv}=4\pi(\frac{m}{2\pi kT})^{3/2}\frac{d[v^2e^{-\frac{mv^2}{2kT}}]}{dv}=0$

$\frac{df(v)}{dv}=4\pi(\frac{m}{2\pi kT})^{3/2}[2ve^{-\frac {mv^2}{2kT}}-v^2\cdot 2v\frac{m}{2kT}e^{-\frac{mv^2}{2kT}}]=0$

解得
$v_p=\sqrt{\frac{2kT}{m}}$
$\overline{v}$

:平均速率
$\overline{v}=\int^{\infty}_{0}vf(v)dv=\sqrt{\frac{8kT}{\pi M}}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
$\sqrt{\overline{v^2}}$

:方均根速率
$\sqrt{\overline{v^2}} =\sqrt{\int^{\infty}_{0}v^2f(v)dv}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$

三种速率的关系为方均根速率大于平均速率大于最概然速率

第七节玻尔兹曼分布率

麦克斯韦速度分布
玻尔兹曼分布律
玻尔兹曼将麦克斯韦速度分布率推广,得出:在温度为
$T$

的平衡态下,任何系统的微观粒子按状态的分布,即在某一状态区间粒子数与该状态区间的一个粒子的能量
$\epsilon$

有关,而且与
$e^{-\frac{\epsilon}{kT}}$

成正比------此则为玻尔兹曼分布律

玻尔兹曼分布律对坐标积分
$\Longrightarrow$

麦克斯韦分布律
玻尔兹曼分布律对速度积分
$\Longrightarrow$

保守场中粒子按势能的分布
重力场中分子或粒子按重力势能(高度)分布
设
$h=0$

处分子的势能为零,分子数密度为
$n_0$

,则高处为
$h$

处的分子数密度为
$n=n_0e^{-\frac{-mgh}{kT}}$

单位体积内的粒子数按高度递减
重力场中恒温气压公式,将
$p=nkT$

代入,可得气压公式
$p=n_0kTe^{-\frac{mgh}{kT}}=p_0e^{-\frac{Mgh}{RT}}$

给出了大气压强随高度的变化关系

重力场中理想气体分子按势能分布

第八节范德瓦耳斯方程

范德瓦耳斯气体分子模型

实际气体状态方程需要对理想气体方程进行修正

范德瓦耳斯方程

$1mol$

气体的范德瓦耳斯方程为
$(p+\frac{a}{v^2_{mol}})(v_{mol}-b)=RT$

第十八章热力学第一定律

基本要求

掌握内能,功和热量等概念,理解准静态过程
掌握热力学第一定律,能分析,计算理想气体在等体,等压,等温和绝热过程中的功,热量和内能的改变量
理解循环的意义和循环过程中的能量转换关系,会计算卡诺循环和其他简单循环的效率

第一节功热量内能

热力学系统与外界传递能量有两种方式:作功和传热
功的表达式
$=pdV$
膨胀:系统对外作功(正功)
压缩:外界对系统作功(负功)
系统体积由
$V_1$

增大到
$V_2$

,系统对外作功为
$A=\int^{V_2}_{V_1}pdV$

,过程曲线
$AB$

下的面积即表示系统在
$AB$

过程中作的功

热量

是传热过程中所传递能量的多少的量度
系统吸热:
$Q>0$
系统放热:
$Q<0$

内能

实验证明系统从
$A$

状态变化到
$B$

状态,可以采用做功和传热的方法,不管经过什么过程,只要始末状态确定,做功和传热之和保持不变
理想气体内能:表征系统状态的单值函数,理想气体的内能仅是温度的函数
$E=E(T)$

,一般气体:
$E=E(V,T)$
系统内能的增量只与系统起始和终了状态有关,与系统所经历的过程无关

功和内能的关系

内能的改变量可以用绝热过程中外界对系统所作的功来量度
$(E_2-E_1)=A_Q$

,此式给出过程量和状态量的关系

热量和内能的关系

外界与系统之间不作功,仅传递热量
$Q_V=(E_2-E_1)$

,说明在外界不对系统做功时,内能的改变量也可以用外界对系统所传递的热量来量度,做功和传热效果一样,本质不同

第二节热力学第一定律

外界与系统之间不仅做功,而且传递热量,则有

$Q=(E_2-E_1)+A=\Delta E+A\rightarrow$

热力学第一定律,系统在任意过程中吸收的热量等于系统内能增量和系统系统对外做功之和

微小过程
$dQ=dE+dA=dE+pdV$

第三节准静态过程

热力学过程:热力学系统状态随时间变化的过程
准静态过程:状态变化过程进行得非常缓慢,以至于过程中得每一个中间状态都近似于平衡态
准静态是一种理想过程
准静态过程是可逆过程
准静态过程可用系统状态图上的一条曲线(过程曲线)表示
传热和做功都是系统内能变化的过程,一个具体的过程是传热还是做功与所选择的系统的组成有关

第四节热容

热容

设物质温度升高
$dT$

,所吸收的热量为
$dQ$

,物质的热容:
$C=\frac{dQ}{dT}$

,单位:
$J/K$

,热容是一个过程量
定压热容:
$C_p=(\frac{dQ}{dT})_p$

(压强不变)
定体热容:
$C_V=(\frac{dQ}{dT})_V$

(压体不变)

摩尔热容

$1mol$

物质的热容
$C_m=\frac {C}{\nu}$

,单位:
$J/(mol\cdot K)$

理想气体的摩尔热容
定体摩尔热容

$dQ=dE+pdV=dE,C_{\nu,m}=\frac{C_\nu}{\nu}=\frac{1}{\nu}(\frac{dQ}{dT})_\nu=\frac{1}{\nu}\frac{dE}{dT}$

理想气体内能公式

$dE=\nu C_{\nu,m}dT$

若过程中
$C_{V,m}=$

常数，有
$\Delta E=\nu C_{V,m}(T_2-T_1)$

对理想气体，热力学第一定律可表述为
$dQ=\nu C_{V,m}dT+pdV$

定压摩尔热容

$dQ=dE+pdV,C_{P,m}=\frac{1}{\nu}(\frac{dQ}{dT})_P=C_{V,m}+\frac{P}{V}(\frac{dV}{dT})_P=C_{V,m}+\frac{d}{dT}(\frac{\nu RT}{P})_P=C_{V,m}+R$

迈耶公式

$C_{P,m}=C{V,m}+R$

比热比
$\gamma=\frac{C_{P,m}}{C_{V,m}}=1+\frac{R}{C_{V,m}}>1$

由经典能量均分定理
$E=\nu\frac{i}{2}RT,i=t+r$

得
$C_{V,m}=\frac{1}{\nu}\frac{dE}{dT}=\frac{i}{2}R,C_{P,m}=\frac{i+2}{2}R,\gamma=\frac{i+2}{i}$

第五节绝热过程

系统在绝热过程中始终不与外界交换热量

$Q=0$

根据热力学第一定律：
$Q=\Delta E+A,\Delta E=-A$

在绝热过程中，内能的增量仍为
$\Delta E=\frac{M}{M_{mol}}C_{V,m}\Delta T=\frac{M}{M_{mol}}C_{V,m}(T_2-T_1)\Longrightarrow A=\Delta E=-\frac{M}{M_{mol}}C_{V,m}(T_2-T_1)$

即绝热膨胀----对外做功----内能减少----温度降低
即绝热压缩----外界做功----内能增加----温度升高
过程方程：对无限小得准静态绝热过程有
$dA+dE=0\Longrightarrow pdV=-\nu C_{V,m}dT$
$pV=\nu RT\Longrightarrow pdV+Vdp=\nu RdT$
$(C_{V,m}+R)pdV+C_{V,m}Vdp=0\Longrightarrow\frac{dp}{p}+\gamma\frac{dV}{V}=0\Longrightarrow pV^{\gamma}=C_1,TV^{\gamma-1}=C_2,p^{\gamma-1}T^{-\gamma}=C_3$

上述式子为绝热过程的过程方程，在过程曲线上也显示绝热线要比等温线更陡一些
由上述式子即可导出绝热过程功的公式为
$A=-(E_2-E_1)=-\nu C_{V,m}(T_2-T_1)$

绝热自由膨胀：非准静态过程中，则
$pV^{\gamma}=C$

不再适用服从热力学第一定律，因
$Q=0,A=0$

可得
$E'-E=0$

，即气体经绝热自由膨胀后，内能不变

第六节循环过程

循环过程

循环过程的特征：内能不发生变化
$\Delta E=0$

正循环、逆循环

正循环：循环沿顺时针方向进行，系统对外做功
$A=A_1-A_2>$

，正循环也叫热机循环，根据热力学第一定律，有
$A=Q_1-Q_2$
热机的效率：
$\eta=\frac{A}{Q_1}=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}=1-\frac{Q_2}{Q_1}$
逆循环：循环沿逆时针方向进行
$A=Q_1-Q_2$

，逆循环也叫致冷循环，致冷循环的致冷系数为
$w=\frac{Q_2}{A}=\frac{Q_2}{Q_1-Q_2}$

致冷系数的意义：外界每消耗一个单位的功能从低温热源吸收多少热量

第七节卡诺循环

卡诺循环：工质只和两个恒温热库交换热量的准静态循环，按卡诺循环工作的热机-卡诺热机
卡诺循环四个阶段：等温膨胀(吸热)

$Q_1=\nu RT_1In(\frac{V_2}{V_1})$

--等温压缩(放热)
$Q_2=\nu RT_2In(\frac{V_3}{V_4})$

--绝热膨胀
$T_1V^{\gamma-1}_{2}=T_2V^{\gamma-1}_{3}$

--绝热压缩
$T_1V^{\gamma-1}_{1}=T_2V^{\gamma-1}_{4}$

因此

\frac{V_2}{V_1}=\frac{V_3}{V_4}

效率
$\eta_c=1-\frac{Q_2}{Q_1}=1-[\nu RT_2In(\frac{V_3}{V_4})]/[\nu RT_1In(\frac{V_2}{V_1})]=1-\frac{T_2}{T_1}$

上述效率为最高效率，一般
$\eta=1-\frac{Q_2}{Q_1}\leq 1-\frac{T_2}{T_1}$

,令吸热为正则上式变为
$1+\frac{Q_2}{Q_1}\leq1-\frac{T_2}{T_1}$

,热温比之和满足
$\frac{Q_1}{T_1}+\frac{Q_2}{T_2}\leq 0$

卡诺定理指出要想提高热机的效率，必须提高高温热源的温度和降低低温热源的温度，并使热机尽量接近于可逆热机

第八节致冷循环

卡诺循环曲线逆时针方向
卡诺致冷机致冷系数

$w_c=\frac{Q_2}{Q_1-Q_2}=\frac{T_2}{T_1-T_2}$

第十九章热力学第二定律

基本要求

了解可逆过程和不可逆过程
了解热力学第二定律及其统计意义
了解熵的玻尔兹曼表达式

第一节自然过程的方向

功热转换

功
$\rightarrow$

热：该过程可以自动发生
热
$\rightarrow$

功：该过程不能自动发生
通过摩擦使功变热的过程是不可逆的，逆过程不能自动发生

热传导

热量总是自发由高温物体传向低温物体，相反过程不会自动发生

气体的绝热自由膨胀

非平衡态
$\rightarrow$

平衡态：可以自动进行
平衡态
$\rightarrow$

非平衡态：不能自动进行，气体不会自动压缩
气体向真空中绝热自由膨胀的过程是不可逆的

第二节不可逆性相互依存

第三节热力学第二定律及其微观意义

热力学第二定律的宏观表述

说明自然宏观过程进行的方向的规律
克劳修斯表述：热量不可能自发从低温物体传向高温物体
开尔文表述：不可能从单一热库吸热，使之完全变为有用功而不产生其他影响----不存在第二类永动机

热力学第二定律的微观意义

不可逆性的微观本质：一切自然过程总沿着分子热运动的无序性增大的方向进行
热力学第二定律是涉及到大量分子的运动的无序性变化的规律，因而它是一条统计规律，热力学第二定律只适用于大量分子的系统

第四节热力学概率与自然过程的方向

微观状态和宏观状态
等概率原理

对于孤立系，各个微观状态出现的概率相等

热力学概率

任一宏观状态所对应的微观态数称为该宏观状态的热力学概率
$\Omega$

--系统无序程度的度量
平衡态：热力学概率
$\Omega$

取最大值的宏观态
结论：尽管分子的微观动力学是可逆的，但热力学体系的宏观过程是不可逆的

第五节玻尔兹曼熵公式与熵增加原理

玻尔兹曼熵公式
$S=kIn\Omega$

熵和
$\Omega$

一样，也是系统内分子热运动的无序性的一种量度，与
$E,T,P$

同地位
熵是系统状态的函数
熵具有可加性

熵增加原理(热力学第二定律的数学表述)

在孤立系统中所进行的自然过程总是沿着熵增大的方向进行，它是不可逆的，即
$\Delta S>0$

(孤立系，自然过程)
孤立系统内过程必有
$\Delta S\geq 0$

,实际一个过程还可能有
$\Delta S<0$

第六节可逆过程

产生不可逆的原因

过程发生耗散
过程中包含非平衡态到平衡态的过渡

可逆过程

只有理想的无耗散的准静态过程，才是可逆过程

孤立系统进行可逆过程时熵不变

第七节克劳修斯熵公式(宏观)

克劳修斯不等式

对系统所经历的任意循环过程，热温比的积分满足
$\oint\frac{dQ}{dT}\leq 0$

克劳修斯熵公式

当系统由平衡态1经历任意过程变化到平衡态2，系统熵的增量为$$\Delta S=S_2-S_1=\int^{2}_{1}\frac{dQ}{T}$$$dQ
$----系统从温度$

T$的热库吸收的热量，积分沿连接状态1和状态2的任意可逆过程进行

熵增加原理
热力学基本方程

由热力学第一和第二定律，得
$TdS=dE+dA$

,只有体积功时，有
$TdS=dE+pdV$

,由热力学基本方程可以求熵

熵的计算

由
$TdS=dE+dA$

，计算得
$\nu$

摩尔理想气体
$(T_1,V_1)\rightarrow(T_2,V_2)$

熵增为
$\Delta S=\nu[C_{V,m}In(\frac{T_2}{T_1})+RIn(\frac{V_2}{V_1})]$
等温过程：
$T_1=T_2,\Delta S=\nu RIn\frac {V_2}{V_1}$
等容过程：
$V_1=V_2,\Delta S=\nu C_{V,m}\frac{T_2}{T_1}$
自由膨胀：
$T_1=T_2,\Delta S=\nu RIn\frac {V_2}{V_1}>0$

第八节熵增加原理举例

功热转换
有限温差热传导
绝热自由膨胀
可逆绝热过程是等熵过程

第九节温熵图

对可逆过程：
$dS =\frac{dQ}{dT},Q_{吸}=\int TdS$

第十节熵与能量退降

不可逆过程的一个后果：使一定的能量从能做功的形式变为不能做功的形式，即能量退降了，退降的能量为
$E_d=T_0\Delta S$

$T_0-$

最冷热库的温度
$\Delta S-$

不可逆过程引起的熵的增量
自然过程的不可逆性
$\rightarrow$

熵增加
$\rightarrow$

自然界中越来越多的能量不能用来做功了，这是自然过程的不可逆性

第二十章振动

基本要求

掌握描述简谐振动的基本物理量
理解旋转矢量法
掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义
理解同方向、同频率的两个简谐振动的合成

第一节简谐振动的描述

简谐振动的定义

物体运动时，如果离开平衡位置的位移(或角位移)按余弦函数(或正弦函数)的规律随时间变化，这种运动就叫做简谐振动。
其运动学定义
$x=Acos(\omega t+\phi)$

-----简谐振动方程
$x=Acos(\frac{2\pi}{T}t+\phi),x=Acos(2\pi\nu t+\phi)$

质点作简谐运动时，其速度、加速度也随时间作周期性变化
速度
$v=\frac{dx}{dt}=-\omega Asin(\omega t+\phi)=\omega Acos(\omega t+\phi+\frac{\pi}{2})$
加速度
$a=\frac{d^{2}{x}}{dt^2}=-\omega^2Acos(\omega t+\phi)=\omega^2Acos(\omega t+\phi+\pi)$

简谐振动的特征量

振幅
$A:A=x_{max}$

振动物体离开平衡位置的最大距离
角(圆)频率
$\omega:2\pi s$

时间内物体所作完全振动的次数
初相
$\phi:(\omega t+\phi)$

决定振动物体的运动状态--相位；
$\phi$

是
$t=0$

时的相位----初相
$A$

和
$\phi$

的值由初始条件
$(x_0,v_0)$

确定：由已知
$t=0$

时，
$x=x_0,v=v_0,$

即
$x_0=Acos\phi,v_0=-\omega Asin\phi$

得
$A=\sqrt{x^{2}_{0}+\frac{v^{2}_{0}}{\omega^2}},\phi=arctan(-\frac{v_0}{\omega x_0})$

旋转矢量

设一质点沿圆心在
$O$

点、半径为
$A$

的圆周做匀速运动，其角速度为
$\omega$

以圆心
$O$

为原点，设质点的径矢经过与
$x$

轴夹角为
$\phi$

的位置开始计时，则在任意时刻
$t$

,此径矢与
$x$

轴的夹角为
$\omega t+\phi$

，而质点在
$x$

轴上的投影坐标为
$x=Acos(\omega t+\phi)$

,为简谐振动
旋转矢量的长度
$\Longrightarrow$

振幅
旋转矢量的角速度
$\Longrightarrow$

角频率(圆频率)
矢量与
$x$

轴的夹角
$\Longrightarrow$

相位
$t=0$

时与
$x$

轴的夹角
$\Longrightarrow$

初相
矢量端点的线速度
$\Longrightarrow$

振动速度(上负下正)

第二节简谐振动的动力学

a=\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega^2x,F=ma=m\frac{d^2x}{dt^2}=-m\omega^2x=-kx或\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{k}{m}x=0

质点在与对平衡位置的位移成正比而反向的合外力作用下的运动就是简谐运动----简谐运动的动力学定义
固有角频率固有周期
$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}},T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

简谐运动的实例
单摆：摆球相对平衡位置的角位移为
$\theta$

,时(取逆时针方向为摆球方向)

$F_{\tau}=-mgsin\theta=ma_\tau=ml\frac{d^2\theta}{dt^2}$

所以
$\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{l}sin\theta=0$

当
$\theta$

很小时，
$sin\theta\approx\theta$

则
$\frac {d^2\theta}{dt^2}+ \frac{g}{l}\theta=0$

,令
$\omega=\sqrt{\frac{g}{l}},得\frac{d^2\theta}{dt^2}+\omega^2\theta=0$

所以单摆的运动在摆角很小时是简谐振动，其周期为
$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

,可利用该式来测重力加速度

第三节简谐振动的能量

以水平弹簧振子为例：

动能：
$E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\omega^2A^2sin^2(\omega t+\phi)$
势能：
$E_p=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}kA^2cos^2(\omega t+\phi)$
机械能：
$E=E_k+E_p=\frac{1}{2}m\omega^2A=\frac{1}{2}kA^2$

简谐振动系统的总机械能守恒，不随时间变化，总能量与振幅的平方成正比
系统势能的平均值
$\overline{E}_P=\frac{1}{T}\int^{T}_{0}E_Pdt=\frac{1}{T}\int^{T}_{0}\frac{1}{2}kA^2cos^2(\omega t+\phi)dt=\frac{1}{4}kA^2$

同理
$\overline{E}_k=\frac{1}{4}kA^2$

结论
$\overline{E}_k=\overline{E}_P=\frac{1}{2}E$

第四节阻尼振动受迫振动共振

阻尼振动
阻尼振动的概念：相比无阻尼自由振动(只有弹性力或准弹性力作用)，任何系统总还要受到阻力的作用，此时振动叫阻尼振动
阻尼振动中，振动系统要不断克服阻力做功，所以能量不断减小，振幅也不断减小，故被称为减幅振动
当物体的运动速度不太大时，介质对运动物体的阻力与速度成正比
$f_r=-\gamma v=-\gamma\frac{dx}{dt},(其中\gamma为正的常数)$

即质量为
$m$

的质量，在弹性力和阻力作用下运动方程为
$m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx-\gamma\frac{dx}{dt}$

令
$\omega_0=\frac{k}{m}$

，(
$\omega_0$

为振动系统固有角频率)，
$2\beta=\frac{\gamma}{m},(\beta$

为阻尼系数)，即可得微分方程
$\frac{d^2x}{dt^2}+2\beta\frac{dx}{dt}+\omega_0^2x=0$

在阻尼作用较小
$(\beta<\omega_0)$

时方程的解：
$x=A_0e^{-\beta tcos(\omega t+\phi_0)},其中\omega=\sqrt{\omega^{2}_{0}-\beta^2}\approx\omega_0$

$A_0e^{-\beta t}：$

随时间变化的振幅，随时间指数减小，阻尼周期：
$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\sqrt{\omega^{2}_{0}-\beta^2}}$

,很明显，阻尼振动周期比振动系统的固有周期要长
三种阻尼形式

欠阻尼：
$\beta<\omega_0$
过阻尼：
$\beta>\omega_0$

,物体以非周期运动的方式慢慢回到平衡位置
临界阻尼：
$\beta=\omega_0$

物体刚刚能做非周期性运动，最后也回到了平衡位置。和过阻尼相比，这种非周期性运动回到平衡位置的时间最短，因此当物体偏离平衡位置时，如果要它在不发生振动的情况下，最快滴恢复到平衡位置，常用施加临界阻尼的方法

受迫振动共振
受迫振动的概念

在驱动力作用下系统的振动----受迫振动
维持受迫振动的周期性外力叫做驱动力
稳定时系统振动的频率=驱动力的频率
$\omega$
物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，而与振动物体的固有频率无关
设驱动力是随时间按余弦规律变化的简谐力
$Hcos\omega t$

由于同时受到弹性力和阻力的作用，其运动方程为
$m\frac {d^2x}{dt^2}=-kx-\gamma\frac {dx}{dt}+Hcos\omega t$

,令

$\omega^{2}_{0}=\frac {k}{m},2\beta=\frac {\gamma}{m},h=\frac {H} {m}$

,上式可写为：
$\frac {d^2x}{dt^2}+2\beta\frac {dx}{dt}+\omega^{2}_{0}x=hcos\omega t$

方程解为
$x=A_0e^{-\beta t}cos(\sqrt{\omega^{2}_{0}-\beta^2}t+\phi_0)+Acos(\omega t+\phi)$

解的前半部分随时间很快衰减为零，后半部分为稳定时的振动方程
分析：受迫振动可以看成两个振动合成的，第一项是减幅前的振动，一段时间后减弱到可忽略不计，后一项表示振幅不变的振动，即受迫振动达到稳定时的等幅振动
在弱阻尼即
$\beta\ll\omega_0$

下可以看出，当
$\omega_r=\omega_0$

,即驱动力频率等于振动系统的固有频率时，振幅最大，该现象称为共振
共振的意义和规律
在弱阻尼即
$\beta\ll\omega_0$

得情况下，当
$\omega=\omega_0$

时，系统的振幅达到最大值--共振
在需要利用共振的时候，应该使驱动力的频率尽量接近振动物体的固有频率；在需要防止共振的时候，应该使驱动力的频率和物体固有频率不相等，而且差得越多越好

第五节简谐振动的合成

同方向、同频率的简谐振动的合成

$x_1=A_1cos(\omega t+\phi_1),x_2=A_2cos(\omega t+\phi_2)$

合振动：
$x=x_1+x_2=Acos(\omega t+\phi)$

,合振动也是简谐振动，其频率仍为
$\omega$
振幅：
$A=\sqrt{A^{2}_{1}+A^{2}_{2}+2A_1A_2cos(\phi_2-\phi_1)}$
初相：
$\phi=arctan\frac{A_1sin\phi_1+A_2sin\phi_2}{A_1cos\phi_1+A_2cos\phi_2}$

多个振动方向相同、频率相同、振幅相同、相位差依次差一恒量
$\delta$

的振动的合成

$x_1=A_1cos\omega t,x_2=A_2cos(\omega t+\delta),x_3=A_3cos(\omega t+2\delta),\cdots x_n=A_ncos(\omega t+(n-1)\delta)$

$A_1=A_2=\cdots=A_n=A_0\Longrightarrow合振动：x=Acos(\omega t+\phi)$

$A=A_0\frac{sin(n\delta/2)}{sin(\delta/2)},\phi=\frac{n-1}{2}\delta$

合振动：
$x=A_0\frac{sin(n\delta/2)}{sin(\delta/2)}cos(wt+\frac{n-1}{2}\delta)$

各分振幅矢量构成一个闭合的正多边形，合振幅为0

同方向、不同频率的简谐振动的合成
设分振动
$x_1=Acos(\omega_1t+\phi),x_2=Acos(\omega_2t+\phi)$

则合振动
$x=x_1+x_2=Acos(\omega_1t+\phi)+Acos(\omega_2t+\phi)=2Acos(\frac{\omega_2-\omega_1}{2})tcos(\frac{\omega_2+\omega_1}{2}t+\phi)$

一般情况下，合振动没有明显的周期性，但当两个分振动的频率都较大，而其差很小时，就会出现明显的周期性，可以近似认为是振幅为
$|2Acos\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t|$

,角频率为
$\frac{\omega_1+\omega_2}{2}$

的简谐振动
互相垂直的简谐振动的合成
$\omega_x=\omega_y,$

合成轨迹为椭圆
$\frac{\omega_x}{\omega_y}=\frac{m}{n},m,n$

为正整数，合成轨迹为稳定的闭合曲线----李萨如图形

第二十一章波动

基本要求

掌握描述波动的各物理量及各量间的关系
理解波动产生的条件。掌握由已知质点的简谐运动方程得出平面简谐波的波函数的方法。理解波函数的物理意义。理解波形曲线
了解波的能量传播特征及能流、能流密度的概念
了解惠更斯原理和波的叠加原理。理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件
理解驻波及其形成，了解驻波和行波的区别
了解机械波的多普勒效应

第一节机械波的几个概念

机械波的形成
波动

机械波：机械振动在弹性介质中的传播
电磁波：交变电磁场在空间的传播
机械波的形成
当弹性介质中的一部分发生振动时，由于介质各个部分之间的弹性力间的相互作用，振动就由近及远的传播出去
机械波实质上是介质中大量质元参与的集体振动
机械波产生的条件是：波源；弹性介质

横波与纵波
横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波(仅在固体中传播)

特征：具有交替出现的波峰和波谷
纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波(可在固体、液体和气体中传播)
特征：具有交替出现的密部和疏部

波线波面波前

波线：沿波传播的方向画一些带箭头的线叫波线
波面：波源在某一时刻的振动相位同时到达的各点所组成的面，称为波面，又称为同相面
波面有许多个，最前面那个波面称为波前
平面波球面波在各向同性均匀介质中，波线与波面垂直

描述波动的物理量

波长
$\lambda$

：沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为
$2\pi$

的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度
周期
$T:$

波前进一个波长的距离所需要的时间，用
$T$

表示
频率
$\nu:$

周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目
$\nu=1/T$

，由于波源作一次完全振动，波就前进一个波长的距离，所以周期或频率只决定于波源的振动
波速
$u:$

波动过程中，某一振动状态(即振动相位)单位时间内所传播的距离
$u=\frac{\lambda}{T}=\lambda\nu=\frac{\omega}{2\pi}\lambda$

由
$\lambda=uT$

可知，波长与波源和媒质都有关，同一频率的波，在不同媒质中传播时波长不同！

第二节平面简谐波

平面简谐波的波函数
简谐波：介质传播的是简谐振动，且波所到之处，介质中各质点作同频率的简谐振动
平面简谐波：波面为平面的简谐波
平面简谐波的波函数

介质中任一质点(坐标为
$x$

)相对其平衡位置的位移(坐标为
$y$

)随时间的变化关系，即
$y(x,t)$

称为波函数
$y=y(x,t)$

设波源
$O$

的振动方程为
$y_0=Acos(\omega t+\phi_0)$

利用时间推迟方法即可明白在
$x$

坐标处点
$P$

在
$t$

时刻的运动即为坐标原点在
$t-\frac{x}{u}$

时刻的振动，即可推得
$y_p=Acos[\omega(t-\frac{x}{u})+\phi_0]$

由于
$P$

点时任意选取的，所以该式描述了在波的传播方向上，介质中任一点(距离原点为
$x$

)在任一时刻
$t$

的位移，这就是沿
$x$

轴正向传播的平面简谐波的波函数
$y=Acos[\omega(t-\frac{x}{u})+\phi_0]$

当然，波函数还有其他表示方法,如：

$y(x,t)=Acos[2\pi(\nu t-\frac{x}{\lambda})+\phi_0]$

$y(x,t)=Acos[2\pi(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda})+\phi_0]$

$y(x,t)=Acos[\frac{2\pi}{\lambda}(ut-x)+\phi_0]$

$y(x,t)=Acos(\omega t-kx+\phi_0)$

沿
$x$

轴负向传播的平面简谐波波函数

$y=Acos[\omega(t+\frac{x}{u})+\phi_0]$

波函数的物理意义

对于给定的位置坐标
$(x=x_0)$

,波动方程表示该
$x_0$

点处质点的振动方程
$y=Acos[\omega(t-\frac{x_0}{u})+\phi_0]=Acos[\omega t-kx_0+\phi_0]$
对于给定时刻
$(t=t_0)$

，波动方程表示该时刻波线上各质点分布情况，即为该
$t_0$

时刻的波形方程(
$t_0$

时刻的位移分布)
$y=Acos[\omega(t_0-\frac{x}{u})+\phi_0]=Acos[\omega t_0-kx+\phi_0]$
若
$x$

和
$t$

都是变量，波动方程表示波线上不同质点、不同时刻的位移，即波形的传播
$y=Acos[\omega(t-\frac{x}{u})+\phi_0]$

波函数反映了波的时间、空间双重周期性

第三节波的能量

物质的弹性

当弹性物体在外力作用下发生弹性形变时，物质内各部分之间出现一种相互作用力，企图恢复形状，每单位面积的恢复力称为应力,应力
$=F/S$

,物体长度的相对变化量叫线应变：线应变
$=\Delta l/l$

,实验表明，在弹性限度内正应力与线应变成正比，即
$\frac{F/S}{\Delta l/l}=E\Longrightarrow弹性模量$

波动能量的传播
以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播，设棒为密度为
$rho$

的均匀弹性介质，有一维简谐波以速度
$u$

沿
$x$

轴正方向传播，波动方程为
$y=Acos\omega(t-x/u)$

,考虑一小体积元
$\Delta V$

的总机械能
计算小体积元的动能：
$dm=\rho dV,\nu=\frac {\partial y}{\partial t}$

dW_k=\frac {1}{2}(dm)v^2=\frac{1}{2}\rho dV(\frac {\partial y}{\partial t})^2=\frac {1}{2}\rho dVA^2\omega^2sin^2\omega(t-\frac {x}{u})

dW_P=\frac {1}{2}k(dy)^2 = \frac {1}{2}ESdx(\frac{dy}{dx})^2=\frac {1}{2}\rho u^2dV(\frac {dy}{dx})^2=\frac{1}{2}\rho dVA^2\omega^2sin^2\omega(t-\frac {x}{u})

可见：

$dW_k=dW_P=\frac {1}{2}\rho dVA^2\omega^2sin^2\omega(t-\frac {x}{u})$

体积元的总机械能

dW=dW_k+dW_P=\rho dVA^2\omega^2sin^2\omega(t-\frac {x}{u})

波动是能量传播的过程，质元的
$dW$

，在波动过程中从大
$\rightarrow$

小
$\rightarrow$

大
$\cdots$

,能量不断传递和获得
在波动传播的介质中，任一体积元的动能、势能、总机械能均随
$x,t$

作周期性变化，且变化是同相位的
体积元在平衡位置时，三者均最大
体积元的位移最大时，三者均为零
任一体积元都在不断滴接收和放出能量，即不断滴传播能量，任一体积元的机械能不守恒，波动是能量传递的一种方式。
波的能量正比于
$A^2,\omega^2(v^2)$

波的能流和能流密度
波传播时，单位体积内波的能量称为能量密度

$w=\frac{dW}{dV}=\rho A^2\omega^2sin^2\omega(t-\frac{x}{u})$

能量密度在一个周期内的平均值为平均能量密度

$\overline{w}=\frac{1}{T}\int^{T}_{0}wdt=\frac{1}{2}\rho A^2\omega^2$

平均能量密度与介质密度、振幅平方、角频率平方成正比
能流
$P$

:单位时间内垂直通过某一面积
$S$

的能量

$P= \frac {udtSw} {dt} =w Su$

平均能流
$\overline{P}:$

能流也是周期性变化的，其在一个周期nn欸的平均值称为平局能流
单位时间垂直通过面积
$S$

的平均能量：
$\overline{P}=\overline{w}Su$

,能流单位：瓦特
$W$

能流密度
$I$

(波的强度)：垂直通过单位面积的平均能流

$I=\frac{\overline{P}}{S}=\overline{w}u=\frac{1}{2}\rho A^2\omega^2u$

即波的强度等于波动平均能量密度与波速的乘积。同时可看出波的强度振幅也有关。

第四节惠更斯原理波的衍射、反射和折射

惠更斯原理
介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波(球面波)的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前
波的衍射
波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播
若障碍物宽度
$d\gg\lambda,$

衍射现象不明显(直线传播)
$d\approx\lambda,$

衍射现象比较明显，
$d<\lambda$

,衍射现象更明显
波的反射和折射

$\frac{sini}{sinr}=\frac{u_1}{u_2}=n_{21}$

第五节波的干涉驻波

波的叠加原理

独立性：几列波空间相遇后，仍然保持它们各自原有的特征(频率、波长、振幅、振动方向等)不变，并按原方向继续前进，好像没有遇到其他波一样
可叠加性：在相遇区域内任一点的位移为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和
频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为波的干涉现象
波的相干条件
频率相同
振动方向平行
相位相同或相位差恒定
可以看出
$P$

点的合振动的振幅
$A$

是与时间无关的稳定值，其大小取决于该点处两分振动的相位差
$\Delta \phi$

$A=\sqrt{A^{2}_{1}+A^{2}_{2}+2A_1A_2cos\Delta\phi},\Delta\phi=\phi_2-\phi_1-2\pi\frac{r_2-r_1}{\lambda}$

合振动的振幅(波的强度)在空间各点的分布随位置而变，但是是稳定的

$\Delta\phi=\pm2k\pi,k=0,1,2;A=A_1+A_2$

,振动始终加强

$\Delta\phi=\pm(2k+1)\pi,k=0,1,2;A=|A_1-A_2|$

,振动始终减弱
非相干波相遇，不发生干涉现象
干涉现象是波动所独有的现象

波的干涉
驻波
驻波的产生

驻波是在同一介质中两列频率、振动方向、振幅都相同的简谐波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加形成的，是一种特殊的干涉现象
产生条件：1.相干波；2.
$A,u$

相同；3.传播方向相反
驻波的特点
有波形，却无波形传播(无相位，能量传播)
各质点在分段上振动，但振幅不等
各分段上振动相位相同，相邻两分段的振动相位相反
驻波方程，设向右传播和向左传播的波的表达式分别为
$y_1=Acos2\pi(\nu t-\frac{x}{\lambda}),y_2=Acos2\pi(\nu t+\frac{x}{\lambda})$

叠加后，介质中各处质点的合位移为：
$y=y_1+y_2=Acos2\pi(\nu t-\frac{x}{\lambda})+Acos2\pi(\nu t+\frac{x}{\lambda})=2Acos2\pi\frac{x}{\lambda}cos2\pi\nu t$

上式即为驻波方程，右式前半部分表明合振幅与位置
$x$

有关，后半部分表明各质点作简谐振动
不同点的振幅不同，振幅最大的点称为波腹，振幅为零的点称为波节
驻波的相位
相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节两侧振动相位相反，在波节处产生
$\pi$

的相位跃变
因此，在驻波中各点并没有振动状态或相位的传播，只有段与段之间相位的突变(即相邻两段的振动方向正好相反)，这正是称其为驻波的原因
驻波实质上是一种特殊的振动形式
驻波的界面情况
$\rho_1u_1<\rho_2u_2$

:波疏
$\rightarrow$

波密介质，界面上总是波节
$\rho_1u_1>\rho_2u_2$

:波密
$\rightarrow$

波疏介质，界面上总是波腹
相位跃变(半波损失)
当波从波疏介质垂直入射到波密介质，被反射到波疏介质时形成波节，入射波与反射波在此处的相位时时相反，即反射波在分界处产生
$\pi$

的相位跃变，相当于出现了半个波长的波程差，称为半波损失

第六节多普勒效应

机械波的多普勒效应

当波源
$S$

和接收器
$R$

有相对运动时，接收器所测得的频率
$\nu_R$

不等于波源振动频率
$\nu_S$

的现象----多普勒效应
波源静止，接收器以速度
$v_R$

相对于介质运动
接收器向波源运动
$v_R=\frac{u+v_R}{\lambda}=\frac{u+v_R}{u/v}=\frac{u+v_R}{u}v$

单位时间内接收到的完整波数目等于分布在距离
$u+v_R$

内的完整波数目
接收器远离波源运动
$v_R=\frac{u-v_R}{u}v_s$

接收器静止，波源以速度
$v_S$

相对介质运动
波源向接收器运动
$v=\frac{u}{\lambda}=\frac{u}{uT_s-v_sT_s}=\frac{u}{u-v_s}v_s$
波源远离接收器
$v_R=v=\frac{u}{u+v_s}v_s$

接收器、波源都相对于介质运动
$v_R=\frac{u\pm v_R}{u\mp v_s}v_s$

电磁波的多普勒效应
考虑相对论时空变换，计算证明，当波源和观测者在同一直线运动时：
$v_R=\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}v_s$

$v$

正负规定

波源与观测者相互接近，
$v$

取正值---紫移
波源与观测者相互远离，
$v$

取负值---红移
来自星球的光谱相对地球中元素光谱都发生"红移","宇宙大爆炸"

第二十二章光的干涉

基本要求

掌握获得相干光的方法
掌握光程的概念以及光程差与相位差的关系
能分析、确定杨氏双缝干涉条纹及等厚、等倾干涉条纹的位置
了解迈克耳孙干涉仪的工作原理

第一节相干光

光源

光源：光源发光，是大量原子、分子的微观过程

相干光
普通光源发光的两个特点：

间歇性
随机性
相干条件：两束光波具有相同的频率、相同的振动方向以及恒定的相位差
两列光波的叠加
光强分布：
$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}cos\Delta\phi$

由普通光源获得相干光的途径
原理：同一光源的一束光分割为两束或多束光，使之经过不同路径后相遇而产生干涉
分波阵面法
分振幅法

第二节杨氏双缝干涉

杨氏双缝实验
干涉规律(分波阵面法)

波程差：
$\delta=r_2-r_1\approx dsin\theta=d\frac{x}{D}$
相位差：
$\Delta\phi=\frac{\delta}{\lambda}2\pi$

干涉的加强减弱条件：
波程差：
$\delta =r_2-r_1=\pm k \lambda,加强$

$\delta=r_2-r_1=\pm (2k-1) \frac {\lambda}{2},减弱$

又因为：
$\delta=d\frac {x}{D}$

,所以

$x=\pm k\frac {D}{d} \lambda,k=0,1,2,\cdots,明纹$

$x=\pm (2k-1)\frac {D}{2d}\lambda,k=1,2,3,\cdots,暗纹$

波程差为其他值的点，光强介于最明与最暗之间，因此上述两条纹分别是明纹中心和暗纹中心
相邻两明纹(或暗纹)中心间的距离为
$\Delta x=\frac{D}{d}\lambda$

干涉条纹是等距分布的，且各级明、暗条纹对称分布在中央明纹两侧

双缝干涉光强公式

$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}cos\Delta\phi$

设
$I_1=I_2=I_0,$

则光强为
$I=4I_0cos^2\frac{\Delta\phi}{2}$
洛埃德镜
菲涅耳双镜

第三节光程

光程

为方便计算光经过不同介质引起的相差，引入光程的概念
光程是一个折合量，在相位改变相同的条件下，把光在介质中传播的路程折合为光在真空中传播的相应路程

透镜不产生附加光程差

第四节薄膜干涉-等厚干涉

薄膜指：油膜、肥皂膜、透明的电介质薄板、夹在两块玻璃板之间的空气薄层或其他流体薄层

劈尖

$\Delta=2ne+\frac{\lambda}{2}$

,后面加这个半个波长是半波损失

$\Delta=k\lambda,k=1,2,3,\cdots$

，明纹
$\Delta=(2k+1)\frac{\lambda}{2},k=0,1,2,\cdots$

，暗纹
讨论：
在棱边处：
$e=0,\Delta=\frac{\lambda}{2}$

,为暗纹，其他地方
出现明纹的厚度:
$e=(k-\frac {1}{2})\frac {\lambda}{2n}$
出现暗纹的厚度：
$e=\frac {k\lambda}{2n}$

注意半波损失是不是可以抵消
劈尖干涉的应用
干涉膨胀仪
测膜厚
测细丝直径

牛顿环

曲率半径很大的平凸透镜放在平玻璃板上，在其之间形成环状劈形空气层，用单色光垂直照射在平凸透镜上，则可以观察到一组明暗相间的同心圆环，称为牛顿环
干涉条纹(反射光干涉)
$\Delta=2nd+\frac{\lambda}{2}=2d+\frac{d}{2}$
$\Delta=k\lambda,(k=1,2,\cdots),明纹$
$\Delta=(2k+1)\frac{\lambda}{2},(k=0,1,\cdots),暗纹$
当
$d=0$

时，
$\Delta=\lambda/2$

,中心暗斑
明纹半径：
$r=\sqrt{\frac{(2k-1)R\lambda}{2}},(k=1,2,3,\cdots)$
暗纹半径：
$r=\sqrt{kR\lambda},(k=0,1,2,\cdots)$

牛顿环属于等厚干涉，但条纹间距不等
牛顿环的应用
实验室中测量平凸透镜的曲率半径
实验室中测量光波波长等
工业上用干涉条纹的圈数检验工件的质量

第五节薄膜干涉-等倾干涉

薄膜的两个表面是相互平行的平面，叫平行平面膜
平行平面膜干涉

光线以入射角
$i$

射向厚度为
$d$

、折射率为
$n_2$

的薄膜，分别被薄膜的上下表面反射的两束光，在薄膜上方相遇发生干涉
薄膜的上下表面反射的两束光的光程差
$\Delta=2d\sqrt{n^{2}_{2}-n^{2}_{1}sin^{2}i}+\frac{\lambda}{2}$

上式表明，光程差决定于倾角
$i$

等倾干涉：入射角相同的入射光，经薄膜上、下表面反射后形成的相干光有相同的光程差，形成同一级次干涉条纹；对于不同的入射角产生不同的干涉条纹，这种干涉叫等倾干涉
等倾干涉的应用
镀增透膜-照相机镜头、眼镜片
镀增反膜-激光器反射镜、宇航员的头盔上
增透膜和增反膜
利用薄膜干涉可以提高或降低光学器件的透光率
由能量守恒，反射光减弱，透射光增强-增透膜
若使
$n_1>n_2,n_2<n_3$

,则反射光由于干涉而增强-增反膜
注意：无论增透膜增反膜，对薄膜厚度有严格要求，且只能对单一波长光纤

第六节迈克尔孙干涉仪

仪器结构、光路
工作原理
迈克尔孙干涉仪的应用

测量微小位移
测介质折射率

第二十三章光的衍射

基本要求

理解惠更斯-菲涅尔原理
掌握分析单缝夫琅禾费衍射暗纹分布规律的方法。会分析缝宽及波长对条纹分布的影响
了解瑞利判据和光学仪器的分辨本领
掌握光栅衍射公式，会确定光栅衍射谱线的位置，会分析光栅常数对谱线分布的影响
了解X射线的衍射

第一节光的衍射和惠更斯-菲涅耳原理

光的衍射

衍射定义：光在传播过程中能绕过障碍物的边缘而偏离直线传播的现象叫光的衍射
衍射分类：近场衍射(菲涅耳衍射)和远场衍射(夫琅禾费衍射)

惠更斯-菲涅耳原理

从同一波阵面上各点发出的子波是相干波。衍射时波场中各点的强度有各子波在该点的相干叠加决定
两点含义：
同一波阵面上的各点发出的都是相干子波
各子波在空间某点相干叠加，决定了该点波的强度

第二节单缝的夫琅禾费衍射

单缝夫琅禾费衍射的实验装置
半波带法

将波阵面
$AB$

分成许多等宽度的纵长条带，并使相邻两条带上对应点发出的光的光程差为半个波长，这样的条带称为半波带
$asin\theta=0$

,中央明纹中心
$asin\theta=\pm 2k\frac{\lambda}{2}=\pm k\lambda$

,干涉相消(暗纹)
$2k$

个半波带
$asin\theta=\pm(2k+1)\frac{\lambda}{2}$

,干涉加强(明纹)，
$2k+1$

个半波带
$asin\theta\neq k\frac {\lambda}{2}$

,(介于明暗之间)

单缝夫琅禾费衍射的几点讨论
明暗条纹以中央明纹为中心两边对称分布，半波带数
$N=\frac{asin\theta}{\lambda/2},\theta$

增大，
$N$

增大，同一缝宽，半波带面积越小，明纹光强随衍射级次的增大而减小
中央明纹宽度
$(k=1$

的两暗纹间
$)$

其他明纹的宽度(任意两相邻暗纹的距离)
单缝夫琅禾费衍射的光强公式推导
干涉和衍射的联系与区别
干涉与衍射都是波的相干叠加
干涉是有限多个分立光束的相干叠加
衍射是波阵面上无限多个子波的相干叠加

第三节光学仪器的分辨本领

圆孔的单缝夫琅禾费衍射
光学仪器的分辨本领
瑞利判据

对于两个等光强的非相干的物点，如果一个象斑的中心恰好落在另一象斑的边缘(第一暗纹处)，则此两物点被认为是刚刚可以分辨的。若象斑再靠近就不能分辨了。

第四节光栅衍射

光栅

光栅是由大量的等宽等间距的平行狭缝(或反射面)构成的光学元件。从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏，都可以叫做光栅
光栅常数(空间周期性的表示)
$d=a+b$
普通光栅刻线为数十条
$/mm$

-数千条
$/mm$
用电子束刻制可达数万条
$/mm(d ~10^{-1}\mu m)$

光栅的种类
透射光栅
反射光栅
光栅衍射
光栅每一缝都要产生衍射，而缝与缝之间透过的光又要发生干涉。因此，光栅衍射是每缝自身衍射与多束光干涉的总效果
若光垂直入射，相邻两缝对应光线的光程差
$\delta=dsin\theta$

明纹位置
$dsin\theta=\pm k\lambda,(k=0,1,2,\cdots)$

光通过光栅后的光强分布
各缝之间的干涉和每缝自身的夫琅禾费衍射，决定了光通过光栅后的光强分布----多光束干涉和单缝衍射共同作用的结果
假设有
$N$

条缝，则相邻主极大之间有
$N-1$

个暗纹和
$N-2$

个次极大
衍射光强大的方向的主极大的光强也大，衍射光强小的方向的主极大光强也小
缺级现象

干涉主极大位置：
$dsin\theta=\pm k\lambda,k=0,1,2,\cdots$
单缝衍射暗纹位置：
$dsin\theta'=\pm k'\lambda',k'=1,2,3,\cdots$
$\frac{d}{a}=\frac{k}{k'}$

时，
$\theta=\theta'$

,此时在应该干涉加强的位置上没有衍射光到达，从而出现缺级。
干涉主极大缺级级次：
$k=\pm\frac{d}{a}k',k'=1,2,3,\cdots$

注意
光栅衍射条纹是以中央明纹为中心，两侧对称分布各级明条纹
光栅衍射明纹亮度高、条纹窄，当
$N$

很大时明纹中间为一暗区
条纹的最高级数、影响明纹间隔的因素
$dsin\theta=\pm k\lambda,k=0,1,2,3,\cdots$

,能看到的最高级数
$sin\theta_k=\pm\frac{k\lambda}{d},\theta=\pm\frac{\pi}{2},k=k_max=\frac{d}{\lambda}$
光栅常数越小，明纹间隔越远，入射光波长越大，明纹间隔越远

光栅光谱

$dsin\theta=\pm k\lambda,k=0,1,2,3,\cdots$

白光入射时，
$\lambda$

不同，
$\theta$

不同，同级的不同颜色的光的明条纹将按波长顺序排列形成光谱，这就是光栅的分光作用

光栅的分辨本领

设入射波长
$\lambda$

和
$\lambda+\delta \lambda$

时，两谱线刚能分辨
定义：光栅的分辨本领
$R$

，
$R\equiv\frac{\lambda}{\delta\lambda}=Nk,(k\neq 0)$

第五节 X射线的衍射

X射线的产生
X射线在晶体上的衍射

衍射中心：每个微粒都是散射子波的波源
同一层晶面上点间散射光的干涉：符合反射定律的散射光加强
面间散射光的干涉：
$\delta=\overline{AC}+\overline{CB}=2d\cdot sin\Phi,$

其中
$d$

为晶面间距，
$\Phi$

为掠射角
散射光干涉加强条件：
$2d\cdot sin\Phi=k\lambda,(k=1,2,\cdot)$

----布拉格公式

应用

已知
$\Phi,\lambda$

可测得
$d$

----X射线晶体结构分析
已知
$\Phi,d$

可测得
$\lambda$

----X射线光谱分析

第二十四章光的偏振

基本要求

理解自然光和偏振光
理解马吕斯定律和布儒斯特定律
了解双折现现象

第一节光的偏振状态

非偏振光(自然光)
非偏振光：在垂直于光传播方向的平面内，包含有各个方向的光矢量，在所有可能的方向上的振幅都相等
自然光的光矢量可以用两个相互独立、振幅相等、振动方向相互垂直的分振动来表示
注意：

二互相垂直方向是任选的
各光矢量间无固定的相位关系
两光矢量振幅相等，各具有一半的振动能量

完全偏振光
线偏振光：在垂直于光传播方向的平面内，光矢量
$\vec{E}$

只沿一个固定的方向振动
椭圆偏振光(圆偏振光)
完全偏振光：线、圆和椭圆偏振光
圆和椭圆偏振光可看成是两束频率相同、传播方向一致、振动方向互相垂直、相位差恒定的线偏振光的合成
部分偏振光
部分偏振光含有自然光和完全偏振光两种成分，可看成是自然光和线偏振光的混合，天空中的散射光和水面的反射光均为部分偏振光，部分偏振光可分解为两束振动方向相互垂直的、不等幅的、不相干的线偏振光

第二节线偏振光的获得与检验

起偏与检偏
偏振片：只让一个方向的光振动通过的光学元件，光振动通过的方向叫偏振片的偏振化方向
注意：

偏振光通过旋转的检偏器，光强发生变化
自然光通过旋转的检偏器，光强不变
马吕斯定律
设
$P_1,P_2$

分别表示起偏器和检偏器的偏振化方向,
$\alpha$

为它们之间的夹角，设投到检偏器和透过检偏器的光强分别为
$I_0$

和
$I$

,则
$\frac{I_0}{I}=\frac{A^{2}_{0}}{A^{2}_{0}cos^2\alpha}\Longrightarrow I=I_0cos^2\alpha$

注意：一束自然光通过一块偏振片时，其光强变为原来的一半

马吕斯定律
偏振片的应用

作为许多光学仪器中的起偏和检偏装置
作为照相机的滤光镜，可以滤掉不必要的反射光
制成偏光眼镜，可观看立体电影

第三节反射和折射时光的偏振

理论和实践都证明：反射光和折射光的偏振化程度与入射角

$i$

有关，当入射角等于某一特定值
$i_b,i_b$

满足：
$tani_b=\frac{n_2}{n_1}=n_{21}$

,反射光是线偏振光，且光振动垂直于入射面，而折射光仍为部分偏振光
$i_b$

叫布儒斯特角，或称为起偏振角。这时折射光的偏振化程度最大
$tani_b=n_{21}\rightarrow$

布儒斯特定理

第四节双折射现象

双折射的概念

双折射：一束光入射到各向异性介质分界面时，折射光分成两束的现象
寻常
$(o)$

光和非寻常
$(e)$

光
$o$

光：遵从折射定律
$n_1sini=n_2sinr_o$
$e$

光：一般不遵从折射定律
$\frac{sini}{sinr_e}\neq const$

,
$e$

光折射线也不一定在入射面内

晶体的光学性质
晶体的光轴：当光在晶体内沿某个特殊方向传播时，不发生双折射，该方向称为晶体的光轴
分类：

单轴晶体：只有一个光轴的晶体，如方解石
双轴晶体：有两个光轴的晶体，如云母
主平面
晶体中光的传播方向与晶体光轴构成的平面叫该光线的主平面
$o$

光的振动方向垂直于光的主平面
$e$

光的振动方向则在于光的主平面内
晶体的主折射率、正晶体、负晶体

$n_o=\frac {c}{v_o},v_o \rightarrow n_o,v_e\rightarrow n_e=\frac {c}{v_e}$
正晶体：
$n_e>n_o(v_e<v_o)$

,如石英
负晶体：
$n_e<n_o(v_e>v_o)$

,如方解石

单轴晶体中光传播的惠更斯作图法

光轴平行晶体表面，自然光垂直入射
光轴平行晶体表面，且垂直入射面
光轴与晶体表面斜交，自然光垂直入射

格兰汤姆逊偏振棱镜

第二十六章波粒二象性

基本要求

理解光电效应和康普顿效应的实验规律以及爱因斯坦的光子理论对这两个效应解释，理解光的波粒二象性
理解德布罗意的物质波假设及其正确性的实验证实，了解实物粒子的波粒二象性
了解波函数及其统计解释
了解不确定关系

第一节黑体辐射普朗克能量子假设

热辐射的基本概念
在任何温度下，物体都向外发射各种频率的电磁波，在不同的温度下所发出的各种电磁波的能量按频率有不同的分布，物体所发出的各种电磁波的能量按频率的分布随温度而不同的电磁辐射，称为热辐射
平衡热辐射

在同一时间内从物体表面辐射的电磁波的能量和它吸收的电磁波的能量相等，物体和辐射就处于温度一定的热平衡状态，这时的热辐射称为平衡热辐射
好的辐射体也是好的吸收体!!

黑体
黑体：能完全吸收照射到其上的各种频率的光的物体，光谱吸收比
$\alpha_\nu=1$

,黑体是理想化模型，即使是煤黑，对太阳光的
$\alpha$

也小于
$99$

%
实现黑体的方法：不透明介质空腔开一小孔，电磁波射入小孔外，很难再从小孔中射出，空腔上的小孔就是黑体
黑体辐射的实验定律
黑体的辐出度与黑体的热力学温度的关系$$M(T)=\int^{\infty}{0}M\nu(T)d\nu=\sigma T^4
$,\sigma=5.67\times 10^{-8}w/m^2\cdot K^4----斯特藩----玻尔兹曼常量$

维恩位移定律

1893年由理论推导而得，在温度为
$T$

的黑体辐射中，光谱辐射出射度最大的光的频率有下式决定
$\nu_m=C_\nu T$

或
$\lambda_m=\frac{b}{T}$

斯特藩-玻尔兹曼定律和维恩位移定理是测量高温、遥感和红外追踪等的物理基础

经典物理遇到的困难
利用分光技术可以从实验上测试出由于黑体辐射而发出的电磁波的能量按频率的分布曲线
维恩公式高频段与实验符合很好，低频段明显偏离实验曲线
瑞利-金斯公式低频段与实验符合很好，高频段明显偏离实验曲线
普朗克的能量子假说和黑体辐射公式
1900年10月，普朗克利用数学上的内插法，把适合高频的维恩公式和适用于低频的瑞利-金斯公式，得到一个半经验公式，即普朗克黑体辐射公式
$M_\nu(T)=\frac{2\pi h}{c^2}\frac{\nu^3}{e^{h\nu/kT}-1}$

普朗克常量：
$h=6.626\times 10^{-34}J\cdot s$

,在全波段与实验曲线惊人地符合

第二节光电效应爱因斯坦的光子理论

光电效应
光电效应：光照射某些金属表面时，电子会从金属表面逸出
光电效应引起的现象是赫兹是1887年发现的。当1896年汤姆孙发现了电子之后，勒纳德才证明所发出的带电粒子是电子
光电效应实验规律

饱和电流：饱和光电流与入射光强成正比
光电子的最大初动能正比于
$\nu_\lambda$

,而与入射光强无关
$\frac{1}{2}mv^{2}_{m}=eU_c=e(K\nu-U_0)\Longrightarrow 截止电压 U_c=K\nu-U_0$
红限频率(红限)：只有当入射光频率
$\nu$

大于一定的频率
$\nu_0$

时，才会产生光电效应，
$\nu_0$

称为红限频率(红限)或截止频率
$\nu_0=\frac{U_0}{K}$
光电效应是瞬时发生的，弛豫时间
$\leq 10^{-9}s$

爱因斯坦的光子理论
爱因斯坦光量子假设：光是由一个个的以光速
$c$

运动的局限于空间某一小范围的光的能量子单元-光子所组成
光子能量
$E=h\nu$

光子具有整体性，光的发射、传播、吸收都是量子化的，光强
$I=N\cdot h\nu$
光子理论对光电效应的解释

一个光子将全部能量交给一个电子，电子克服金属对他的束缚，从金属中逸出

$\frac {1}{2}mv^{2}_{m}=h\nu -A,光电效应方程$

$A=eU_0$

:逸出功；红外极限
$\nu_0=\frac{A}{h}=\frac {eU_0}{h}$

光的波粒二象性

波长大或障碍物小
$\Longrightarrow$

波动性突出
波长小或障碍物大
$\Longrightarrow$

粒子性突出
光作为电磁波是弥散在空间而连续的，光作为粒子在空间中是集中而分立的

第三节康普顿散射

1923年康普顿研究X射线通过金属、石墨等物质时的散射现象，发现：在散射的X射线中除有与入射波长相同的射线外，还有比入射波长更长的射线----康普顿散射(康普顿效应)

实验规律
散射曲线的三个特点

除原有波长
$\lambda_0$

外，出现了移向长波方向的新的散射波长
$\lambda$
新波长
$\lambda$

随散射角
$\phi$

的增大而增大
当散射角增大时，原波长的谱线强度降低，而新波长的谱线强度升高
实验表明：新散射波长
$\lambda>$

入射波长
$\lambda_0$

,波长的偏移
$\Delta\lambda=\lambda-\lambda_0$

只与散射角
$\phi$

有关，和散射物质无关，实验规律：
$\Delta\lambda=\lambda_c(1-cos\phi)=2\lambda_csin^2\frac{\phi}{2},\lambda_c=2.4\times 10^{-3}nm(实验值)$

$\lambda_c$

称为电子的康普顿波长，只有当入射波长
$\lambda_0$

和
$\lambda_c$

可比拟时，康普顿散射才显著，因此要用X射线才能观察到

康普顿散射的理论解释
康普顿散射实验的意义

支持了光量子的概念，进一步证实了
$E=h\nu$
首次实验证实了爱因斯坦提出的光量子具有动量的假设
$p=E/c=h\nu/c=h/\lambda$
证实了在微观领域的单个碰撞事件中，动量和能量守恒定理仍然是成立的

吴有训对康普顿散射研究的贡献

第四节实物粒子的波动性

德布罗意假设
电子衍射实验

第五节概率波与概率幅

对物质波的理解、概率波的概念

玻恩：德布罗意波并不像经典波那样是代表实在物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的概率波

波函数及其统计解释
波函数

量子力学假定：微观粒子的状态用波函数表示，一般而言波函数是时间和空间的函数
平面简谐波函数
$y=Acos(\omega t-kx)$

,复数表示：
$y=Ae^{-i(\omega t-kx)}$
概率波波函数：一维
$\psi(x,t)$

,三维
$\psi(\vec{r},t)$
自由粒子：
$E、p,\nu=\frac{E}{h};\lambda=\frac{h}{p}$
$\psi(x,t)=Ae^{-i(\omega t-kx)}=Ae^{-i2\pi(\nu t-\frac{x}{\lambda})}=Ae^{-i2\pi(\frac{E}{h}t-\frac{p}{h}x)}$
$\psi(x,t)=Ae^{-i\frac{2\pi}{h}(Et-px)},\psi(x,t)=Ae^{i\frac{2\pi}{h}(px-Et)},令\hbar=\frac{h}{2\pi}\Longrightarrow \psi(x,t)=Ae^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)}$

对实物粒子波粒二象性的理解

玻恩对
$psi$

的统计解释：波函数
$\psi$

是描述粒子在空间概率分布的概率振幅，其模方
$|\psi(\vec{r},t)|^2=\psi(\vec{r},t)*\psi(\vec{r},t)$

代表
$t$

时刻，在坐标
$\vec{r}$

附近单位体积中发现一个粒子的概率，称为概率密度
$\psi(\vec{r},t)$

不同于经典波的波函数，它无直接的物理意义，有意义的是
$|\psi|^2$

和波函数的位相
对单个粒子：
$|\psi|^2$

给出粒子概率密度分布
对大量粒子：
$N|\psi|^2$

给出粒子数的分布

第六节不确定度关系

1927年，海森伯分析了一些理想实验并考虑到德布罗意关系，得出了不确定关系(测不准关系):粒子在同一方向上的坐标和动量不能同时确定
如果用
$\Delta x$

代表位置的测量不确定量(不确定范围)，用
$\Delta p_x$

代表沿
$x$

方向的动量的测量不确定量，那么它们的乘积有一个下限，即
$\Delta x\cdot\Delta p_x\geq\frac{\hbar}{2},\hbar=\frac{h}{2\pi}=1.0545887\times 10^{-34}J\cdot s$
除了位置和动量之间的不确定关系外，还有能量和时间之间的不确定关系
$\Delta E\cdot \Delta t\geq \frac {\hbar} {2}$

注意：不确定关系是微观体系具有波粒二象性的必然结果，本质上不是由测量仪器对体系干扰造成的

第二十七章薛定谔方程

基本要求

了解一维定态薛定谔方程

第一节薛定谔方程

自由粒子薛定谔方程
一维：设一质量为
$m$

、动量为
$p$

的自由粒子，沿
$x$

轴运动，波函数为：
$\psi(x,t)=Ae^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)}$

将波函数对
$t$

取一级偏导数，得

$i\hbar\frac{\partial\psi(x,t)}{\partial t}=E\psi(x,t)$

将波函数对
$x$

取二级偏导数，得

$-i\hbar\frac{\partial\psi(x,t)}{\partial x}=p\psi(x,t),-\hbar^2\frac{\partial^2\psi(x,t)}{\partial x^2}=p^2\psi(x,t)$

考虑到自由粒子的能量
$E$

只相等于其动能
$E_k$

；且当自由粒子的速度较光速小得很多时，在非相对论范围内，自由粒子的动量与动能之间的关系为
$E=E_k=\frac{p^2}{2m}$

,将其代入
$i\hbar\frac{\partial\psi(x,t)}{\partial t}=E\psi(x,t),联立-\hbar^2\frac{\partial^2\psi(x,t)}{\partial x^2}=p^2\psi(x,t)$

得到自由粒子薛定谔方程
$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi(x,t)}{\partial x^2}$
一般形式的薛定谔方程
推广到在势场
$U(x,t)$

中的一维运动粒子
$E=\frac{p^2}{2m}+U(x,t)$

,薛定谔方程为
$-\frac {\hbar^2}{2m}\frac {\partial^2\psi(x,t)}{\partial x^2}+U(x,t)\psi(x,t)=i\hbar\frac {\partial\psi(x,t)}{\partial t}$

再推广到三维
$\frac {\partial^2}{\partial x^2}\Longrightarrow \frac {\partial^2}{\partial x^2}+\frac {\partial^2}{\partial y^2}+\frac {\partial^2}{\partial z^2}\equiv\nabla^2$

可得一般的薛定谔方程
$-\frac {\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+U(x,y,z,t)\psi=i\hbar\frac {\partial\psi}{\partial t}$

一般的薛定谔方程

是量子力学的基本方程，描述非相对论性粒子波函数随时间演化规律
是线性齐次微分方程，解满足态叠加原理
方程中含有虚数
$i$

，它的解
$\psi$

是复函数，复数不能直接测量，而
$\psi$

的模方代表概率密度，可测量

定态薛定谔方程
当
$U(\vec{r})$

与时间无关时，波函数可用分离变量法，表述为

$\psi(x,y,z,t) =\psi (x,y,z) e^{-\frac {i}{\hbar }Et}$

代入薛定谔方程可得
$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+U\psi=E\psi$

该方程不含时间，称为定态薛定谔方程

数学上：
$E$

不论取何值，方程都有解
物理上：
$E$

只有取一些特定值，方程的解才能满足波函数的条件(单值、有限、连续)
满足方程的特定的
$E$

值，称为能量本征值
$\psi_E$

称为与
$E$

对应的本征波函数，若粒子处于
$\psi_E$

，则粒子的能量为
$E$

第二节无限深方势阱中的粒子

第三节势垒穿透

第四节谐振子

第二十八章原子中的电子

基本要求

理解氢原子光谱的实验规律及波尔的氢原子理论
理解描述原子中电子运动状态的四个量子数，了解能量、角动量及空间量子化
了解激光工作原理

第一节氢原子光谱波尔的氢原子理论

氢原子光谱的实验规律

紫外：莱曼系
可见光：巴尔末系
红外：帕邢系、布拉开系、普丰德系、汉弗莱系

波尔的氢原子理论
经典核模型的困难

原子不断地向外辐射能量，能量逐渐减小，电子绕核旋转的频率也逐渐改变，发射光谱应是连续谱
由于原子总能量减小，电子将逐渐的接近原子核而后相遇，原子不稳定
波尔的三个假设
定态假设：定态量子化
频率条件：频率量子化
量子化条件(量子条件)电子绕核作圆周运动时，其稳定状态必须满足
$L=n\frac{h}{2\pi},n=1,2,3,\cdots$

,式中
$L$

是电子的角动量，
$n$

称为主量子数，定义约化普朗克常数：
$\hbar=\frac{h}{2\pi}$

,则量子化条件成为
$L=n\hbar$

$E_n=\frac{1}{n^2}E_1\approx\frac{-13.6}{n^2}eV,\nu=\frac{E_i-E_f}{h}$

,由能级算出的光谱线频率和实验结果完全一致

氢原子轨道半径和能量的计算
氢原子能级公式
$r_n=\frac {\epsilon_0h^2}{\pi me^2}n^2=r_1n^2$
波尔氢原子理论的意义和困难

正确地指出原子能级的存在(原子能量量子化)
正确地指出定态和角动量量子化的概念
正确地解释了氢原子及类氢粒子光谱
无法解释比氢原子更复杂的原子
把微观粒子的运动视为有确定的轨道是不正确的
是半经典半量子理论，存在逻辑上的缺点，即把微观粒子看成是遵守经典力学的质点，同时，又赋予它们量子化的特征

第二节氢原子的量子力学处理

质子的质量比电子的质量大得多，在氢原子中可近似认为质子静止而电子运动，因此电子的能量就代表整个氢原子的能量，电子受质子的库仑力作用，势能函数为

U(r)=-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}

,以质子的位置为坐标原点，由于在一般情况下，氢原子为一稳定的系统，由定态薛定谔方程可得

-\frac {\hbar^2}{2m}(\frac {\partial^2\psi}{\partial x^2}+\frac {\partial^2\psi}{\partial y^2}+\frac {\partial^2\psi}{\partial z^2})-\frac {e^2}{4\pi\epsilon_0 r}\psi=E\psi

波函数

\psi

必须满足单值、有限、连续的条件
上述方程满足这些条件的解与三个整数

n、l、m_l

有关，可用如下形式表示：

\psi=\psi_{n、l、m_l}(r、\theta、\phi)

,其中

r、\theta、\phi

为空间一点的球坐标原点在质子处
讨论：量子化条件和量子数

能量量子化和主量子数

$E_n=-\frac {me^4}{2\hbar^2{4\pi\epsilon_0}^2}\frac {1}{n^2}=-13.6\frac{1}{n^2}eV,(n=1,2,\cdots)$

能量是量子化的，
$n$

称为主量子数
角动量量子化和角量子数
$L=\sqrt{l(l+1)}\hbar,l=0,1,2,\cdots,(n-1)$
角动量空间量子数和磁量子数
$L_z=m_l\hbar,m_l=0,\pm 1,\pm 2,cdots,\pm l$
对于确定的角量子数
$l$

，磁量子数
$m_l$

可取
$(2l+1)$

个值，空间取向量子化

第三节电子自旋与自旋轨道耦合

第四节微观粒子的不可分辨性泡利不相容原理

第五节各种原子核外电子的组态

四个量子数
描述原子中电子电子运动状态需要一组量子数
$-n,l,m_l,m_s$

主量子数
$n=1,2,3,\cdots$

，是决定能量的主要因素
轨道角量子数
$l=0,1,2,\cdots(n-1)$

决定电子绕核运动的角动量的大小
轨道磁量子数
$m_l=0,\pm 1,\pm 2\cdots\pm l$

决定电子绕核运动的角动量的空间取向
自旋磁量子数
$m_s=\pm\frac{1}{2}$

决定电子自旋角动量的空间取向

电子的壳层分布(两个基本原理)
电子是费米子，由泡利不相容原理，在同一原子中不可能有两个电子处于相同的量子态

同一个
$n$

组成一个壳层(
$K,L,M,N,\cdots$

)
相同
$n,l$

组成一个次壳层(
$s,p,d,f,\cdots$

)
当
$n$

一定时，
$l$

可取
$n$

个不同的值，且对于
$l$

的每个值，
$m_l$

和
$m_s$

共可取
$2(2l+1)$

个不同的值
一次壳层内最多可容纳
$(2l+1)\times 2$

个电子
主量子数为
$n$

的壳层可容纳的最大电子数为
$Z_n=\sum^{n-1}_{l=0}(2l+1)\times 2=2n^2$

能量最小原理：电子优先占据最低能态
即：原子处于正常状态时，电子的排布应使原子的能量最低
壳层与次壳层
壳层----由具有相同主量子数
$n$

的所有量子态组成
次壳层----由同一壳层中具有相同角量子数
$l$

的量子态组成
原子中电子的填充：先填
$n$

较小的壳层，在同一
$n$

中，先填
$l$

较小的次壳层，在不同壳层临接处，比较它们的
$(n+0.7l)$

值。
$(n+0.7l)$

的值越大，能级越高

第六节激光

自发辐射受激辐射
自发辐射

原子在没有外界干预的情况下，电子会由处于激发态的高能级
$E_2$

自动跃迁到低能级
$E_1$

，这种跃迁称为自发跃迁，由自发跃迁而引起的光fu'she称为自发辐射
受激辐射
原子中处于高能级
$E_2$

的电子，会在外来光子(其频率恰好满足
$h\nu=E_2-E_1$

)的诱发下向低能级
$E_1$

跃迁，并发出与外来光子一样特征的光子，这叫受激激发
由受激辐射得到的放大了的光是相干光，称之为激光

激光原理

从外界输入能量(如光照，放电等)，把低能级上的原子激发到高能级上去，这个过程叫做激励(也叫泵浦)
光在粒子数反转的工作物质中往返传播，使谐振腔内的光子数不断增加，从而获得很强的光，这种现象叫做光震荡，加强光需满足驻波条件
$l=k\frac {\lambda}{2}$

激光器的三个主要组成部分

工作物质：有合适的能级结构，能实现离子数反转
激励能源(泵浦源)：使原子激发，维持粒子数反转
光学谐振腔：保证光放大，使激光有良好的方向性和单色性

激光器

氦氖气体激光器
红宝石激光器
激光器的发展方向
扩展了激光的波长范围
激光的功率大大提高
激光器已能实现小型化

激光器的特性和应用

方向性好
单色性好
相干性好
能量集中

最后编辑于：2020.09.30 20:22:19

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大学物理学下

第十七章 温度与气体动理论

第一节 气体动理论的基本概念

第二节 状态参量 平衡态 理想气体状态方程

第三节 理想气体的微观模型

第四节 理想气体的平均平动动能和温度公式

第五节 能量均分定理

第六节 麦克斯韦速率分布律

第七节 玻尔兹曼分布率

第八节 范德瓦耳斯方程

第十八章 热力学第一定律

第一节 功 热量 内能

第二节 热力学第一定律

第三节 准静态过程

第四节 热容

第五节 绝热过程

第六节 循环过程

第七节 卡诺循环

第八节 致冷循环

第十九章 热力学第二定律

第一节 自然过程的方向

第二节 不可逆性相互依存

第三节 热力学第二定律及其微观意义

第四节 热力学概率与自然过程的方向

第五节 玻尔兹曼熵公式与熵增加原理

第六节 可逆过程

第七节 克劳修斯熵公式(宏观)

第八节 熵增加原理举例

第九节 温熵图

第十节 熵与能量退降

第二十章 振动

第一节 简谐振动的描述

第二节 简谐振动的动力学

第三节 简谐振动的能量

第四节 阻尼振动 受迫振动 共振

第五节 简谐振动的合成

第二十一章 波动

第一节 机械波的几个概念

第二节 平面简谐波

第三节 波的能量

第四节 惠更斯原理 波的衍射、反射和折射

第五节 波的干涉 驻波

第六节 多普勒效应

第二十二章 光的干涉

第一节 相干光

第二节 杨氏双缝干涉

第三节 光程

第四节 薄膜干涉-等厚干涉

第五节 薄膜干涉-等倾干涉

第六节 迈克尔孙干涉仪

第二十三章 光的衍射

第一节 光的衍射和惠更斯-菲涅耳原理

第二节 单缝的夫琅禾费衍射

第三节 光学仪器的分辨本领

第四节 光栅衍射

第五节 X射线的衍射

第二十四章 光的偏振

第一节 光的偏振状态

第二节 线偏振光的获得与检验

第三节 反射和折射时光的偏振

第四节 双折射现象

第二十六章 波粒二象性

第一节 黑体辐射 普朗克能量子假设

第二节 光电效应 爱因斯坦的光子理论

第三节 康普顿散射

第四节 实物粒子的波动性

第五节 概率波与概率幅

第六节 不确定度关系

第二十七章 薛定谔方程

第一节 薛定谔方程

第二节 无限深方势阱中的粒子

第三节 势垒穿透

第四节 谐振子

第二十八章 原子中的电子

第一节 氢原子光谱 波尔的氢原子理论

第二节 氢原子的量子力学处理

第三节 电子自旋与自旋轨道耦合

第四节 微观粒子的不可分辨性 泡利不相容原理

第五节 各种原子核外电子的组态

第六节 激光

第十七章温度与气体动理论

第一节气体动理论的基本概念

第二节状态参量平衡态理想气体状态方程

第三节理想气体的微观模型

第四节理想气体的平均平动动能和温度公式

第五节能量均分定理

第六节麦克斯韦速率分布律

第七节玻尔兹曼分布率

第八节范德瓦耳斯方程

第十八章热力学第一定律

第一节功热量内能

第二节热力学第一定律

第三节准静态过程

第四节热容

第五节绝热过程

第六节循环过程

第七节卡诺循环

第八节致冷循环

第十九章热力学第二定律

第一节自然过程的方向

第二节不可逆性相互依存

第三节热力学第二定律及其微观意义

第四节热力学概率与自然过程的方向

第五节玻尔兹曼熵公式与熵增加原理

第六节可逆过程

第七节克劳修斯熵公式(宏观)

第八节熵增加原理举例

第九节温熵图

第十节熵与能量退降

第二十章振动

第一节简谐振动的描述

第二节简谐振动的动力学

第三节简谐振动的能量

第四节阻尼振动受迫振动共振

第五节简谐振动的合成

第二十一章波动

第一节机械波的几个概念

第二节平面简谐波

第三节波的能量

第四节惠更斯原理波的衍射、反射和折射

第五节波的干涉驻波

第六节多普勒效应

第二十二章光的干涉

第一节相干光

第二节杨氏双缝干涉

第三节光程

第四节薄膜干涉-等厚干涉

第五节薄膜干涉-等倾干涉

第六节迈克尔孙干涉仪

第二十三章光的衍射

第一节光的衍射和惠更斯-菲涅耳原理

第二节单缝的夫琅禾费衍射

第三节光学仪器的分辨本领

第四节光栅衍射

第二十四章光的偏振

第一节光的偏振状态

第二节线偏振光的获得与检验

第三节反射和折射时光的偏振

第四节双折射现象

第二十六章波粒二象性

第一节黑体辐射普朗克能量子假设

第二节光电效应爱因斯坦的光子理论

第三节康普顿散射

第四节实物粒子的波动性

第五节概率波与概率幅

第六节不确定度关系

第二十七章薛定谔方程

第一节薛定谔方程

第二节无限深方势阱中的粒子

第三节势垒穿透

第四节谐振子

第二十八章原子中的电子

第一节氢原子光谱波尔的氢原子理论

第二节氢原子的量子力学处理

第三节电子自旋与自旋轨道耦合

第四节微观粒子的不可分辨性泡利不相容原理

第五节各种原子核外电子的组态

第六节激光