商映射 定义（商映射）：令和为两拓扑空间，令为一个满射函数，则被称为一个商映射，如果是开集当且仅当是开集。 我们可以看出，一个商映射一定是一个连续映射；有些数学家也把商映射称...
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学习笔记 - 拓扑学（八）
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学习笔记 - 拓扑学（七）
度量拓扑中的其他概念 我们在度量拓扑中讨论之前定义的一些概念。 度量空间的子空间保持着与原空间相同的度量与拓扑：如果是拓扑空间的一个子空间，是上的一个度量，那么将限制到上的函...
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学习笔记 - 拓扑学（六）
度量拓扑 在一个集合中引入拓扑最常见的方法就是在该集合上定义一个度量，然后再在度量上引入拓扑。通过这种方法引入的拓扑在现代分析学中占据着核心地位。首先，我们定义什么是度量。 ...
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学习笔记 - 拓扑学（五）
箱拓扑与积拓扑 在之前的学习中，我们在上定义了拓扑，并且把该定义拓展为在任意多个可列的拓扑空间笛卡尔积上的拓扑。考虑笛卡尔积： 其中每个都是一个拓扑空间。我们有两种方法生成拓...
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学习笔记 - 拓扑学（四）
连续 设和为两拓扑空间，一个函数被称为连续的，如果对于中的任意开集，我们有是中的一个开集。函数的连续性不仅取决于函数本身，也取决于定义域和值域的拓扑结构。 如果由基生成，那么...
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学习笔记 - 拓扑学（三）
闭集 给定一个拓扑空间，如果是开集，那么是闭集。 定理：设是一个拓扑空间，那么下列条件成立：和都是闭集。任意个闭集的交是闭集。有限个闭集的并是闭集。 从该定理可以看出，我们也...
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学习笔记 - 拓扑学（二）
序拓扑 在上一节我们在实数轴上定义了标准拓扑，其实我们可以把标准拓扑的定义拓宽在任意有序集上。如果是一个有序集，通过序关系可以定义一个标准拓扑，称之为序拓扑。一般地，对于且，...
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学习笔记 - 拓扑学（一）
拓扑与拓扑空间 拓扑是定义在一个全集上的满足一定条件的子集的集合。具体来说，这个集合需要满足三个性质： 包含空集和全集 对于元素的并集封闭 对于有限个元素的交集封闭 我们把叫...